1 Éléments de logique et de théorie des ensembles Pour les exemples et exercices traités dans ce chapitre les ensembles usuels de nombres entiers, rationnels réels et complexes sont supposés connus, au moins de manière intuitive comme cela se passe au Lycée. Nous reviendrons plus loin sur les constructions de ces ensembles. 1.1 Quelques notions de logique Nous allons préciser à un premier niveau quelques notions mathématiques qui sont relative- ment intuitives mais nécessitent quand même des définitions rigoureuses. L’idée étant de préciser schématiquement comment se présente une théorie mathématique ainsi que la notion essentielle de démonstration. La première notion est celle d’assertion. De manière intuitive, une assertion est un énoncé mathématique aussi rigoureux que possible qui ne peut prendre que deux valeurs de vérité à savoir « vrai » ou « faux » mais jamais entre les deux comme dans le langage courant. Une assertion qui est toujours vraie est une tautologie. Par exemple les énoncés suivantes sont des assertions : 2 < 15 (elle est vraie), √ 2 est un nombre rationnel (elle est fausse), cos(nπ) = (−1)n (vraie), ... Deux assertions sont dites logiquement équivalentes, ou plus simplement équivalentes, si elles sont toutes deux vraies ou toutes deux fausses. Il y a ensuite les énoncés qui se démontrent. Pour ce faire, on se donne des règles précises (que nous verrons par la pratique) qui permettent de construire de nouvelles assertions à partir d’assertions données. Remarque 1.1 Il ne faut pas croire que dans une théorie donnée toute assertion P soit obli- gatoirement démontrable. En 1931 Kurt Gödel à démontré qu’il y a des assertions non démon- trables (on dit aussi qu’elles sont indécidables) : il n’est pas possible de démontrer que P est vraie ni que P est fausse. À la base de toute théorie mathématique, on dispose d’un petit nombre d’assertions qui sont supposés vraies à priori (c’est-à-dire avant toute expérience) et que l’on nomme axiomes ou postulats. Ces axiomes sont élaborés par abstraction à partir de l’intuition et ne sont pas déduits d’autres relations. Par exemple, la géométrie euclidienne est basée sur une quinzaine d’axiomes. L’un de ces axiomes est le postulat numéro 15 qui affirme que par un point donné passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée. 3