THEME: une démonstration du théo- rème de Wedderburn. 1 Introduction Avant d’énoncer le théorème de Wedderburn, il faut effectuer une petite précision lexicale. La loi multiplicative d’un corps est généralement toujours supposée commu- tative. Ce ne sera pas le cas ici et on appellera corps un ensemble K muni de deux lois + et . telles que (K,+) ait une structure de groupe abélien et telles que (K\{0},.) ait une structure de groupe non nécessairement abélien. On dira alors qu’un corps est commutatif si sa multiplication est commutative. Rappelons aussi qu’un corps est dit fini si son cardinal est fini. Théorème de Wedderburn Tout corps fini est commutatif. Afin d’établir la démonstration de ce théorème, il faut procéder à quelques rappels sur les racines de l’unité. 2 Racines de l’unité Notons C le cercle trigonométrique, i.e. C = {z ∈ C / ;;;z;;; = 1} = � eiθ ; θ ∈ R � = � eiθ ; θ ∈ [0 ; 2π[ � . Pour tout entier n ≥ 1, on note Rn l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité, à savoir Rn = {z ∈ C / zn = 1}. Bien sûr, Rn ⊂ C et Rn = � ei 2kπ n ; k ∈ {1, · · · ,n} � . Ainsi, card (Rn) = n. Rappelons que Rn a une structure de groupe multiplicatif. Définition On appelle ensemble des racines entières de l’unité l’ensemble R = � n≥1 Rn où Rn désigne l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité. Proposition A toute racine entière de l’unité z, on peut associer l’idéal des entiers i tels que zi = 1 ; cet idéal est non nul et son unique générateur strictement positif est le rang de z, noté ici ρ (z). Ainsi on a : z ∈ Rn ⇔ ρ (z) ;;; n. Démonstration Soit z une racine entière de l’unité. Il existe n ∈N tel que zn = 1 . Par conséquent, l’ensemble I des entiers i tels que zi = 1 est non vide. On vérifie facilement que c’est un idéal de Z . Ce dernier étant principal, I est aussi principal et