L’espace de probabilités (Ω,A,P) 1 Introduction Le calcul des probabilités est la science qui modélise les phénomènes aléatoires. Une modélisation implique donc certainement une simplification des phénomènes, mais cette simplification conduit à une quantification, donc à la possibilité de faire des calculs et à prédire. Le jet d’un dé, le tirage du Loto pourraient être analysés par les lois de la mécanique, mais ce serait trop compliqué pour être utile. La modélisation du calcul des probabilités a été inventée par A. N. Kolmogorov dans un livre paru en 1933. Cette modélisation est faite à partir de 3 objets (Ω,A,P) que nous allons décrire. 2 L’espace des observables Ω. Nous conviendrons que effectuer une expérience, c’est sélectionner par un procédé quelconque un élément ω dans un ensemble Ω: jeter un dé revient à sélectionner un élément de Ω = {1,2,3,4,5,6}; jeter ensemble deux dés rouge et vert revient à sélec- tionner un élément de l’ensemble Ω = {1,2,3,4,5,6} des couples ordonnés (i,j) avec 1 ≤ i ≤ 6 et 1 ≤ j ≤ 6 (ici Ω a 36 points). Plus délicat: jeter ensemble deux dés in- discernables revient à sélectionner un élément de l’ensemble Ω des couples (i,j) avec 1 ≤ i ≤ j ≤ 6 (ici Ω a 6+ 1 26×5 = 21 points). Observer la durée de vie d’une ampoule de 100 watts revient à sélectionner un élément de Ω = [0, + ∞[. Mesurer la durée de vie de 12 ampoules de 100 watts est sélectionner un élément de Ω = [0, + ∞[12. Cet ensemble Ω est appelé l’espace des observables. On dit aussi dans la littérature l’espace échantillon, l’espace des évènements - élémentaires, l’expérimental ou encore l’évènementiel. Ses points ω sont appelés observables ou évènements-élémentaires. Il est très important qu’il soit clairement défini. On peut s’exercer à définir Ω dans les 2 cas suivants : jeter 12 fois de suite la même pièce de monnaie, jeter en même temps 12 pièces de monnaie identiques (on admet que la pièce tombe sur pile ou sur face, et jamais sur la tranche). 3 La tribu des évènements A. Les questions qu’on se pose sur le résultat d’une expérience sont systématiquement du type suivant: on choisit un sous ensemble A de l’espace d’observables Ω et on se demande: le résultat ω de l’expérience va-t-il tomber dans A ou non? Les parties de Ω pour lesquelles on se pose ce genre de question sont appelées des évènements. Un des premiers points délicats de la théorie est que on ne va pas toujours considérer tous les sous ensembles de Ω comme des évènements. Dans l’exemple de la lampe de 100 watts, il parait inintéressant de se demander si sa durée de vie, mesurée en heures, est un nombre irrationnel, et intéressant de se demander si elle tombe dans l’intervalle