128 Complexes cellulaires 6 Complexes cellulaires 6.0 Quelques rappels Proposition 6.0.1 : topologie finale Soient E un espace topologique, X un ensemble e( f une appli- cation de E vers X. Notons TE la topologie de E. a • La famille U f;E := {U ⊂ f (E) ;;; f-1(U) ∈ TE } est une topolo- gie sur f (E). aDe plus f : E f f (E), U f;E est continue. • U f;E est la plus fine des topologies de f (E) qui rendent f con- tinue. a • Pour tout espace topologique F et toute application ua de f (E) a vers F, u : f (E),U f;E f F est continue si et seulement si u f est continue. a Définition La topologie U f;E est appelée topologie finale de f, L’espace topologique f (E),U f;E sera noté Im f. Définition Soient X un ensemble, E = {Ea ; a ∈ A} une famille d’espaces topo- logiques et F = {fa : Ea f X} une famille d’applications. On définit la topologie finale de la famille F commeala topologie fi- nale de l’application f : a A ∈C Ea f X dont la restriction à chaque Ea est fa. Autrement dit, la topologie finale de la famille F = {fa ; a ∈ A} est la fa-mille des parties U deaX contenues dans la réunion des ima- ges des fa et dont l’image réciproque par chacune des fa est un ou- vert de Ea.