Moments, fonctions génératrices, trans- formées de Laplace 1 Moments et variance Théorème 6.1 Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité, et soit n un entier > 0. Soit Ln l’ensemble des v.a. X sur cet espace telles que l’espérance mn = IE(Xn), appelée moment d’ordre n, existe. Alors Ln est un espace vectoriel, et on a L1 ⊃ L2 ⊃ · · · ⊃ Ln. Démonstration Puisque f(x) = xn définit une fonction convexe sur la demi- droite positive, on peut écrire pour x et y positif que (x + y 2 )n ≤ 1 2(xn + yn), et donc ;;;X + Y ;;;n ≤ (;;;X;;; + ;;;Y ;;;)n ≤ 2n−1(;;;X;;;n + ;;;Y ;;;n). Une autre méthode pour obtenir cette inégalité est de montrer que g(t) = 2n−1(tn + 1) − (t + 1)n atteint son minimum sur [0, + ∞[ en t = 1 et de considérer g(x/y). Si maintenant les espérances de ;;;X;;;n et de ;;;Y ;;;n sont finies, on en déduit d’après la fin du théorème 5.2 que l’espérance de ;;;X + Y ;;;n est finie et que X + Y est dans Ln quand X et Y y sont. Enfin, pour voir que si l’espérance de ;;;X;;;n est finie il en est de même pour ;;;X;;;n−1, on utilise l’inégalité ;;;X;;;n−1 ≤ 1 + ;;;X;;;n, qu’on vérifie immédiatement en étudiant les cas ;;;X;;; ≤ 1 et ;;;X;;; ≥ 1. Le fait que Ln−1 ⊃ Ln s’en déduit. Définition Le moment centré d’ordre n de la variable aléatoire X est défini par IE[(X − m1)n] où m1 = IE(X) . Remarquons au passage que si le moment non centré mn existe, alors le moment centré existe, puisque c’est l’espérance d’un polynôme en X de degré n et qu’on vient de voir que les moments de degré inférieur à n existaient. Le cas particulier réellement important est le cas où n = 2. Définition Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle le moment centré d’ordre 2 de X la variance de X, et sa racine carrée positive l’écart type de X, encore appelé déviation standard. On note l’écart type σ(X) et la variance (σ(X))2, ou plus rarement V (X).