Groupes 1 Introduction Lorsque on observe le monde physique, on ne peut que remarquer l’importance des symétries. Ces dernières structurent l’univers à notre échelle, mais aussi, comme le prouve la physique moderne, l’univers de l’infiniment grand et celui de l’infiniment pe- tit. Mathématiquement, les symétries d’un système physique permettent de faire baisser le nombre de paramètres inconnus décrivant ce système.(A toute symétrie d’un système physique correspond une intégrale première de ce système). C’est aussi une tendance naturelle de l’être humain que de rechercher la symétrie. Si on demande, par exemple, à un enfant de dessiner un triangle, la probabilité que le triangle dessiné soit isocèle ou équilatéral est plus grande que celle qu’il soit quel- conque. De même, une construction symétrique nous semblera plus esthétique qu’un édifice dissymétrique. Il a fallu cependant attendre le 19ime siècle pour disposer d’un bon support concep- tuel au sujet des symétries. Même si, historiquement, la notion de groupe n’est pas née avec comme objectif celui de traiter des symétries, c’est cette notion qui permit de les modéliser complètement et de les étudier dans toute leur généralité. La notion de groupe intervient dans la plupart des disciplines mathématiques. Ainsi la théorie des groupes sera indispensable à l’étude de l’arithmétique, de l’algèbre linéaire ou bilinéaire, de la géométrie (Euclidienne et non Euclidienne),... Le géniteur premier de la théorie des groupes fut le très romantique E. Galois. Il introduisit cette notion afin d’étudier la possibilité de résoudre les équations poly- nomiales de degré � 5 par radicaux (c’est à dire la possibilité de trouver des formules permettant de mettre sous forme algébrique les solutions de ces équations). Il remarqua une symétrie dans l’écriture des racines des polynômes de degré <5, puis construisit un groupe correspondant à ces symétries (groupe de permutation). Il montra les liens entre certaines des propriétés mathématiques de ce groupe et le fait que les racines du po- lynôme correspondant soient exprimables par radicaux. Il montra finalement que ces propriétés mathématiques n’étaient pas vérifiées si le degré du polynôme considéré était supérieur ou égale à 5. Dans toute la leçon G désignera un ensemble non vide. 2 Vocabulaire Définition On appelle loi interne sur G une application de G � G �� G. 1