Image d’une probabilité, variables aléa- toires 1 Fonctions mesurables Quand en mathématiques une nouvelle structure est introduite, comme celle d’es- pace vectoriel, ou comme présentement celle d’espace de probabilité, une démarche féconde est de rechercher les transformations qui préservent cette structure. Pour les espaces vectoriels, ce sont les applications linéaires. Pour les espaces de probabilité, ce sont les fonctions mesurables qu’on va introduire dans un instant. Le cas particulier important en sera les variables aléatoires. Auparavant, adoptons la notation suivante: Définition si E et F sont des ensembles quelconques, si f est une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et si enfin B est un sous ensemble de F, l’ensemble A des x de E tels que f(x) soit dans B sera désormais noté par A = f −1(B). Nous l’appelle- rons l’image inverse de B par f. Insistons sur le fait que f n’est pas nécessairement injective ni surjective. On vérifie facilement que: Proposition Si B1 et B2 sont des sous ensembles de F alors on a f −1(B1 ∪ B2) = f −1(B1) ∪ f −1(B2) et f −1(B1 ∩ B2) = f −1(B1) ∩ f −1(B2). La même propriété est vraie même avec une famille infinie de B. Définition Soit alors deux espaces Ω et Ω1, chacun muni d’une tribu A et A1, et soit f une fonction définie sur Ω à valeurs dans Ω1 On dit que f est une fonction mesurable si pour tout B ∈ A1, alors A = f −1(B) est un élément de A. Dans ces conditions, on voit facilement que: Proposition L’ensemble des parties A de la tribu Ω qui sont de la forme f −1(B), avec B ∈ A1, est une tribu. On la note parfois f −1(A1). Comme f est mesurable, c’est donc une sous tribu de A. Montrer qu’une fonction est mesurable est généralement facile grâce au théorème suivant, dont la démonstration est hors programme. Théorème 4.1 Soit F une famille de parties de Ω1 telle que la tribu A1 soit la plus petite qui contienne F. Soit f une fonction de Ω à valeurs dans Ω1. Soit A une tribu sur Ω. Alors f est mesurable pour ce couple de tribus si et seulement si pour tout