Appendice 3: Annales des problèmes de probabilités de Deug et de licence Mia 03, Université Paul Sabatier, Devoir 4, à remettre au premier TD de la semaine du 15 au 19 décembre 1997. Exercice 1 Soit 0 < p < 1, soit X une v.a. à valeurs dans N telle que pour tout x ∈ N on ait P(X = x) > 0 et soit enfin une v.a. Y sur le même espace de probabilité telle que pour tout x et pour tout y = 0,1, . . . ,x on ait P(Y = y;;;X = x) = Cy x(1 − p)x−ypy. On pose Z = X − Y. 1. On suppose dans cette question que X suit une loi de Poisson de moyenne λ. Montrer qu’alors Y suit une loi de Poisson de moyenne pλ (Méthode: on peut ou bien calculer P(Y = y) par le principe des probabilités totales, ou bien calculer la fonction génératrice fY ). Montrer que Y et Z sont indépendantes (Méthode : calculer P(Y = y; Z = z)). Montrer que Z suit une loi de Poisson de moyenne (1 − p)λ. 2. Trouver la loi de X si on sait que Y et Z sont indépendantes. Méthode: si 0 < z < 1 et 0 < s < 1 , montrer que E(sY zZ) = fX((1 − p)z + ps), et chercher à quelle condition g((1 − p)z + ps) = log fX((1 − p)z + ps) est la somme d’une fonction de s seul d’une autre fonction de z seul: penser à introduire la dérivée seconde de g. Exercice 2 Soit N un entier fixé, et soit Ω l’ensemble des parties de taille N de l’ensemble {1,2, . . . ,2N} des 2N premiers entiers. On le munit de la tribu P(Ω) et de la pro- babilité équiprobable. Si n = 1, . . . ,2N, on note pour ω ∈ Ω Xn(ω) = 1 si n ∈ ω et Xn(ω) = −1 sinon. On note S0 = 0 et Sn = X1 + · · · + Xn. 1. Soit uN le nombre d’éléments de Ω. Calculer uN. Quelle est la valeur de S2N? Les variables aléatoires Xn sont elles indépendantes? Sont elles de même loi? Quelle est la loi de Xn? 2. Pour k entier entre 0 et N on note Ak l’évènement S2k = 0. Calculer P(Ak). Soit Y = �N k=0 1Ak Soit (vn)n≥0 le terme général de la série qui est le produit de Cauchy de la série de terme général un par elle même. Montrer que E(Y ) = vN uN . 3. Calculer les sommes des séries entières suivantes à l’intérieur de leur intervalle de convergence �∞ k=0 unzn , �∞ k=0 vnzn (Méthode: donner une présentation du développement en série entière de (1 − x2)−1/2 en termes de (un)). En déduire une approximation de E(Y ) si N est grand à l’aide de la formule de Stirling. 4. Dans un jeu de 52 cartes, je tire une carte; avant de la regarder, je devine sa couleur: rouge ou noir, et je marque un point si j’ai deviné juste. Je recommence avec le paquet des 51 cartes restantes, et ainsi de suite jusqu’à épuisement des 52 cartes. Je joue avec la meilleure stratégie, qui choisit la couleur la mieux représentée dans le paquet restant et choisit au hasard en cas d’égalité. Quelle est la moyenne des points marqués? (Méthode: observer que cette stratégie garantit