Relations d’équivalence 1 Introduction La notion de relation d’équivalence est un outil merveilleux. Elle permet tout d’abord de réunir des objets équivalents dans une même classe et ainsi de les réunir et de les traiter comme un seul. C’est le cas par exemple lorsque l’on construit le groupe fondamental d’une surface (ou d’une variété). On considère comme équivalents, des chemins tracés sur la surface considérée, et qui peuvent se ra- mener l’un sur l’autre par une déformation continue de l’un des deux chemins. Un autre exemple, beaucoup plus élémentaire, est donné par la relation d’équivalence suivante: l’entier n est équivalent à l’entier m si m-n est paire. On aura alors une partition de IN en deux sous ensembles: ceux qui seront équivalents à 1 et qui seront les nombres impairs d’une part, ceux qui seront équivalents à 2 et qui seront les nombres pairs, d’autre part. Le second intérêt de cette notion est de permettre la création de nouveaux ob- jets mathématiques. Les exemples sont nombreux et parmi les plus célèbres, citons les corps finis IFp sur lesquels nous reviendrons dans une prochaine de leçon, l’espace projectif réel ou complexe de dimension n kP � n � où k désigne IR ou IC , ou encore la bouteille de Klein obtenue en découpant un tore le long d’un de ses cercles générateurs et en le recollant via une bonne relation d’équivalence. Dans toute la leçon X désignera un ensemble quelconque non vide. 2 Vocabulaire Définition On considère une relation � sur un ensemble X. On dira que ˚est une relation d’équivalence si pour tout x,y et z de X elle vérifie: – � est réflexive: x � x. – � est symétrique: x � y � y � x. – � est transitive: si x � y et que y � z alors x � z. Exemple être égal à est une relation d’équivalence (sur n’importe quel ensemble X). Exemple Sur IN , on considère la relation x � y � x-y est pair où x et y désignent des éléments quelconques de IN . � ainsi définie est une relation d’équivalence (le vé- rifier!!). Définition Soit X un ensemble muni d’une relation d’équivalence � . Soit aussi x un élément de X. On appellera classe d’équivalence de x suivant � l’ensemble � y � X ; y � x � . Un élément y d’une classe d’équivalence sera appelé un représentant 1