Appendice 1: Grandes déviations Si X1, . . . ,Xn sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi, de moyenne m et telles qu’il existe α > 0 avec IE(eα;;;Xn;;;) < ∞, et si on note Sn = X1 +· · ·+Xn, le théorême suivant calcule pour a > m le nombre limn∞(Pr(Sn ≥ na))1/n. Théorème Soit µ une mesure positive sur IR non concentrée en un point et telle que l’intervalle des θ réels satisfaisant L(θ) = � ∞ −∞ eθxµ(dx) < ∞ ait un intérieur Θ non vide. On considère la fonction strictement convexe sur Θ égale à k = log L et l’intervalle ouvert M = k′(Θ), et on note par ψ : M → Θ la fonction réciproque de k′. Soit m = k′(θ) fixé dans M et X1, . . . ,Xn sont des variables aléatoires indépen- dantes et de même loi eθx−k(θ)µ(dx). Soit enfin a ∈ M avec m < a et les nombres un = Pr( 1 n(X1 + · · · + Xn) ≥ a) h(m,a) = − � a m (a − x)ψ′(x)dx = a(ψ(m) − ψ(a)) + k(ψ(a)) − k(ψ(m)). Dans ces conditions on a 1. (Inégalité des grandes déviations) u1/n n ≤ eh(m,a). 2. (Théorème des grandes déviations) limn∞ u1/n n = eh(m,a). Commentaires: 1) Une insupportable confusion règne dans la littérature d’enseigne- ment concernant ce résultat, dû à Cramer (1938), principalement à cause de ses géné- ralisations à des hypothèses plus faibles (et peu intéressantes) dans IR ainsi qu’à IRd, où les résultats n’ont pas l’harmonie du résultat ci dessus. 2) Dans sa présentation, le théorème fait jouer un rôle symétrique à toute la famille de lois de probabilités eθx−k(θ)µ(dx) quand θ varie dans Θ. Cette famille est appelée une famille exponentielle naturelle engendrée par µ. Attention, µ n’est pas unique: µ′ engendre la même famille exponentielle, c’est à dire le même ensemble de probabili- tés, indépendamment du paramétrage, si et seulement si il existe a et b réels tels que µ′(dx) = eax+bµ(dx). Il est clair que la loi d’une variable aléatoire réelle X telle qu’il existe α > 0 avec IE(eα;;;X;;;) < ∞ appartient à une famille exponentielle naturelle: il suffit de prendre pour µ la loi de X. Toutefois, pour la loi de X donnée, souvent avec un paramètre, il n’est pas toujours apparent de relier cette loi avec la famille exponentielle à laquelle elle appartient. Par exemple la loi de Bernoulli (1 − p)δ0 + pδ1 appartient à la famille exponentielle engendrée par µ = δ0 + δ1 : prendre p = eθ 1+eθ . 3) Implicitement, l’énoncé utilise des résultats simples comme le fait que Θ soit un intervalle et comme la convexité de k, qui se démontrent comme le 1) et le 6) du théorème 6.7 du cours de Deug. De plus, il est facile de voir que avec les notations du théorème, l’espérance des Xi est m = k′(θ) et leur variance est k′′(θ) = 1/ψ′(m).