Anneaux factoriels, Anneaux euclidiens 1 Introduction Les anneaux factoriels sont des anneaux dans lesquels les éléments s’écrivent comme des produits d’“éléments de base”. Une bonne connaissance du comportement de ces éléments de base permettra une bonne compréhension de l’anneau. Donnons tout de suite un exemple: Z est un anneau factoriel et ses “éléments de base” sont les nombres premiers. Comme on le verra, la notion de factorialité est plutôt lourde à exprimer et à mettre en évidence. On préfèrera toujours, mais ce n’est malheureusement pas toujours possible, travailler dans des anneaux euclidiens, qui sont des anneaux munis d’une di- vision euclidienne, et qui sont factoriels. On ne s’interessera ici qu’à des anneaux commutatifs. 2 Anneaux factoriels Définition Soit A un anneau. Soient a et b des éléments de A. On dira que a divise b (et on notera a;;;b) si il existe un élément c de A tel que b=a.c. Proposition Soient A un anneau, a et b des éléments de A. Si a divise b alors (b)⊂(a). Démonstration Supposons qu’il existe c∈A tel que b=a.c. Soit x un élément de (b). Alors il existe y dans A tel que x=b.y. Donc x=y.c.a et donc x∈(a). (Rappelons que les anneaux considérés ici sont supposés commutatifs.) Proposition Définissons la relation R sur l’anneau A par aRb⇔a;;;b. R est transi- tive et réflexive. Démonstration On vérifie facilement que si a;;;b et b;;;c alors a;;;c. On vérifie aussi sans trop de peine que a;;;a ! Proposition Soit un anneau A, soient a et b des éléments de A et soit R la relation définie précédemment alors: aR b ⇔ (b)⊂(a). Démonstration C’est juste la réécriture de la propriété précédente. Définition On notera A∗ l’ensemble des éléments inversibles d’un anneau A. Proposition Soit A un anneau intègre et unitaire, soient deux éléments a et b de cet anneau. On a: (a)=(b) ⇔ ∃u ∈ A∗ a=ub. Démonstration Supposons que (a)=(b). Si a est nul, b aussi et la propriété est dé- montrée. Supposons donc que a n’est pas nul. Alors il existe u∈A tel que a=u.b et u’∈A tel que b=u’.a. En particulier a=u.u’.a, ou encore: a(1-u.u’)=0. Comme a n’est pas nul et que l’anneau est intègre, cela implique que 1-u.u’=0 ou encore que u.u’=1. u est donc