Probabilités conditionnelles et indépen- dance 1 Conditionnement Définition Si (Ω,A,P) est un espace de probabilité, soit B ∈ A un évènement tel que P(B) > 0. On définit alors la nouvelle probabilité PB sur A par PB(A) = P(A ∩ B) P(B) , qu’on note aussi PB(A) = P(A;;;B), et qui se lit probabilité de A conditionnée par B, ou sachant B, ou sachant que B est réalisé. (Ω,A,PB) est un authentique espace de probabilité, puisque PB(Ω) = P(Ω ∩ B)/P(B) = 1 et que, si les (An)n≥1 sont deux à deux disjoints et dans A, on a bien PB(∪n≥1An) = 1 P(B)P(∪n≥1(An∩B)) = 1 P(B) � n≥1 P(An∩B)) = � n≥1 PB(An). Il faut toutefois réaliser que la probabilité PB est concentrée sur B et ne charge pas Bc. Pour énoncer le prochain résultat, il est commode d’introduire un nouveau terme: Définition une suite finie (Bn)N n=1 ou dénombrable (Bn)+∞ n=1 d’évènements est appelée une partition de Ω si les Bn sont deux à deux disjoints et si leur réunion est égale à Ω. Théorème 3.1 Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité, soit (Bn)n≥1 une partition de Ω finie ou dénombrable avec P(Bn) > 0 pour tout n, et soit A ∈ A tel que P(A) > 0. 1. Si P(B) > 0, alors P(A ∩ B) = P(A;;;B)P(B) = P(B;;;A)P(A). 2. (Principe des probabilités totales) P(A) = � n≥1 P(A;;;Bn)P(Bn). 3. (Formule de Bayes) Pour tout k: P(Bk;;;A) = P(A;;;Bk)P(Bk) � n≥1 P(A;;;Bn)P(Bn). Démonstration Cet énoncé est décoré du titre de théorème plutôt par son impor- tance pratique que par la difficulté de sa démonstration: pour le 1), utiliser la définition de P(A;;;B). Pour le 2) observer que les A ∩ Bn forment une partition de A et donc d’après l’axiome d’additivité P(A) = � n≥1 P(A ∩ Bn) et terminer en utilisant le 1). Pour le 3) on a P(A;;;Bk)P(Bk) = P(A ∪ Bk) = P(Bk;;;A)P(A) = P(Bk;;;A) � n≥1 P(A;;;Bn)P(Bn),