Espaces Topologiques 1 Introduction Le concept de mesure est culturel. Les peuples aborigènes, par exemple, n’en ont pas la connaissance et ont du développer d’autres outils pour localiser les lieux dans l’espace. Ainsi, si l’on se pose le problème de décrire un chemin permettant, partant d’un point A, de rejoindre un point B (comme sur la figure ci contre), on pourrait proposer deux types de réponse: – la première, qui est celle à laquelle nous sommes habituée: ”Pour aller de A à B, longer le chemin sur 5 km, puis à votre droite, la rivière sur 3 km” – la seconde, du type aborigène, serait: ”Avancer sur le chemin jusqu’à arriver au voisinage d’un grand arbre, longer alors la rivière sur votre droite et ce jusqu’à approcher à la fois la périphérie de la forêt et celle de la colline. Il en est des espaces mathématiques comme des cultures humaines. Certains sont en ef- fet étrangers à toute métrique (penser à par exemple C � IR � IR � , l’espace des fonctions continues de IR dans IR ), d’autres aussi échappent suffisamment à notre perception pour qu’aucune métrique naturelle ne s’impose (quelle métrique mettre sur un tore ou sur IRP � 2 �� S2 � � x � � x � , l’espace projectif réél de dimension 2 (qui est aussi l’en- semble de toutes les droites vectorielles non orientées de l’espace IR 3)). Devons nous alors renoncer, pour de tels ensembles, aux notions de convergences (pour lesquelles il est justement nécessaire de définir ce que signifie être près de )? C’est à ce niveau qu’intervient la topologie et son formalisme. 2 Topologie sur un ensemble et sous ensemble ouvert Dans toute la suite, X désignera un ensemble et  une partie de  (X) . Définition On dit que (X,  )est un espace topologique si  vérifie: – X, /0  . – Une intersection finie d’éléments de  est encore élément de  . – Une réunion quelconque d’éléments de  est encore élément de  . Un élément de  sera appelé un sous ensemble ouvert de X. ( On utilisera le plus souvent le mot ouvert à la place de sous ensemble ouvert). Se donner  sur X vérifiant les 3 axiomes précédents revient à se donner une topologie sur X. Définition On appelle topologie discrète sur un ensemble X la topologie sur X pour laquelle tout sous ensemble de X est ouvert. (En particulier, tout point de X définit un sous ensemble ouvert de X). Cette topologie est égale à  (X) . Définition On appelle topologie grossière sur un ensemble X la topologie  donnée par  =  /0 � X  . 1