MAÎTRISE DE MATHEMATHIQUES COURS D'ALGÈBRE par J. QUERRÉ Professeur Université de Bretagne Occidentale avec énonces 40 EXERCICES-300 PROBLÈMES MASSON Paris New York Barcelone Milan 1976 TABLE DES MATIÈRES Avant-Propos ix Chapitre premier. - Groupes 1 A. Morphismes de groupes 1 1. Classes suivant un sous-groupe 1 2. Noyau et image d'un morphisme de groupes 4 3. Produit et somme de groupes 6 4. Groupes cycliques 7 5. Propriété universelle du noyau - Applications 10 6. Suites normales • Suites de Jordan-Hôlder 15 7. Groupes libres 17 B. Groupes opérant sur un ensemble 21 1. Définitions • Equation des classes 21 2. Ensembles homogènes 24 3. p-groupes 25 4. Groupes résolubles 28 5. Groupes de permutations 30 6. Caractères des groupes finis commutatifs 35 C. Groupes ordonnés 39 1. Ensembles inductifs 39 2. Groupes ordonnés commutatifs 40 3. Groupes réticulés 42 4. Groupes continus 44 Problèmes 49 Chapitre 2. - Anneanx 53 A. Morphismes d'anneaux 53 1. Notion d'idéal 53 2. Opérations sur les idéaux 55 VI TABLE DES MATIÈRES 3. Idéaux premiers et maximaux 58 4 Idéaux primaires 62 B Divisibilité dans un anneau 64 1. Anneaux principaux 64 2. Anneaux factoriels 66 3. Application de la divisibilité à l'analyse diophantienne 72 C. Anneaux de fractions 74 1. Construction d'un anneau de fractions 74 2. Idéaux d'un anneau de fractions , 77 D. Anneaux noethériens et artiniens 80 1. Anneaux noethériens 80 2. Anneaux artiniens 83 Problèmes 84 Chapitre 3. - Corps 87 A. Extensions d'un corps commutatif 87 1. Extensions simples 87 2. Extensions finies 91 3. Extensions algébriques 95 B. Corps des racines d'un polynôme 99 1. Unité du corps des racines 99 2. Extensions séparables 101 3. Extensions normales 103 4. Normes, traces et discriminant 105 C. Corps finis 109 1. Propriétés des corps finis 109 2. Racines de l'unité 111 3. Polynômes cyclotomiques 115 D. Théorie de Galois 118 1. Groupe de Galois 118 2. Equations rés