I. El Hage www.les-mathematiques.net 1 Résolubilité par des radicaux 1 Groupe de Galois d’un polynôme Dans ce chapitre, tous corps considérés sont de caractéristique nulle. Soient K une corps et f un polynôme dans K � X � . Définition On appelle groupe de Galois du polynôme f sur le corps K le groupe de Galois G � E � K � où E est un corps des racines pour f sur K. Il sera noté GK � f � . Lemme Soit f � K � X � et M une extension de K. Le groupe GM � f � est isomorphe à un sous-groupe de GK � f � . Démonstration Soit N un corps des racines pour f sur M. On a N � M � a1 �� �� � an � où a1 � ��� � an sont les racines de f dans N. Le corps E � K � a1 �� �� � an � est un corps de racines pour f sur K. Si σ � G � N � M � , alors sa restriction à E est un K  automorphisme de E car E est une extension normale de K. Soit ϕ;G � N � M � G � E � K � l’application qui associe à chaque σ � G � N � M � sa restriction à E. ϕ est un homomorphisme de groupes. Il est injectif car si ϕ � σ �� idE, alors σ � ai �� ai pour tout i. Il en résulte σ � idM. Ainsi G � N � M � est isomorphe à Im � ϕ � qui est un sous-groupe de G � E � K � . Soit f � K � X � et L � K � a1 � ��� � an � un corps des racines pour f sur K, où a1 � �� �� an sont les racines de f dans L. Tout σ � G � L � K � permute les racines de f. D’un autre côté, deux K  automorphismes σ et τ de L sont égaux si, et seulement si, σ � ai �� τ � ai � pour tout i. Ainsi le groupe de Galois de f peut être regardé comme un sous-groupe de du groupe des permutations de ses racines. Nous avons alors Lemme Soit f � K � X � . Le groupe de Galois de f sur K est isomorphe à un sous- groupe du groupe symétrique Sn où n est le nombre des racines distinctes de f. 2 Polynômes résolubles et leurs groupes de Galois Définition On dit qu’un polynôme f � K � X � est résoluble par des radicaux si, et seulement si, les racines de f dans un corps des racines peuvent être construites à partir des coefficients de f en un nombre fini d’étapes faisant intervenir les quatre opé- rations élémentaires  ,  ,  ,  et l’extraction de racines ni`emes pour des entiers naturels appropriés n. Il découle de cette définition, qu’un polynôme f � K � X � est résoluble par des radi- caux si, et seulement si, il existe des corps K0 � K1 �� ��� Km tels que K0 � K, le polynôme f est scindé dans Km � X � et pour tout entier i entre1et m, le corps Ki est obtenu à par- tir du corps Ki  1, par l’adjonction d’un élément αi � Ki qui vérifie αpi i � Ki  1 pour