I. El Hage www.les-mathematiques.net 1 Compléments sur les groupes 1 Quelques théorèmes Soit f : G � � G � un homomorphisme de groupes surjectif. Nous allons désigner par S � G �� l’ensemble des sous-groupes de G � et par S f � G � celui des sous-groupes de G contenant Ker � f � . Théorème Il existe une bijection de S � G �� sur S f � G � . Démonstration Soit ϕ l’application de S � G �� dans S f � G � qui associe à H � le sous- groupe f � 1 � H � � de G. ϕ est injective, car nous avons � ϕ � H � � ϕ � K ��  � f � 1 � H � � f � 1 � K ��  � f � f � 1 � H � ��  f � f � 1 � K � ��  � H �  K � vu que f est surjective. D’un autre côté, si H  S f � G � , alors H � f � H �  S � G � � et ϕ � H � �  f � 1 � H � �  H car nous avons � x  f � 1 � f � H ��  f � x �  f � H �  � y  H �  f � x �  f � y �  x � y  Ker � f � H   x  H  D’où f � 1 � f � H �� H. L’autre inclusion est évidente. Ainsi ϕ est surjective. Théorème La bijection ϕ est croissante. Démonstration Si H �  K � , alors � x  ϕ � H � �!  � x  f � 1 � H � �!  � f � x �  H �  � f � x �  K �  � x  f � 1 � K � �  ϕ � K � � D’où ϕ � H �#� ϕ � K �#� . Théorème H � est un sous-groupe distingué de G � si, et seulement si, le sous- groupe H  ϕ � H � � de G est distingué.