Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 113 − 1 Analyse complexe Applications holomorphes par Bernard RANDÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis es applications holomorphes permettent d’élucider certains phénomènes qui semblent ne mettre en cause, au premier abord, que des nombres réels, alors que ces applications sont définies sur un ouvert du plan complexe. Un exemple frappant de cette situation est fourni par le calcul d’intégrales de fonctions de la variable réelle, rendu simple et surtout systématique, par l’uti- lisation de la formule des résidus. Cette formule exprime, en termes calculatoires, la géométrie du plan com- plexe, qui diffère de celle de la droite réelle en ceci que, dans le premier cadre, il est possible d’entourer un point par un lacet (c’est-à-dire une courbe qui se referme sur elle-même). La notion d’intégrale le long d’un lacet permet alors de calculer une intégrale « autour » d’un pôle d’une application holomorphe f. Ce faisant, on fait apparaître deux termes : — le premier, de nature géométrique, est le nombre de tours que fait le lacet autour du pôle : c’est la notion d’indice ; — le second exprime le comportement de f au voisinage du pôle, qui fait inter- venir un nombre, le résidu de f en ce pôle. 1. Formule des résidus et applications................................................... AF 113 – 2 1.1 Résultats généraux...................................................................................... — 2 1.1.1 Indice d’un point par rapport à un lacet ........................................... — 2 1.1.2 Résidu d’une application méromorphe en un point........................ — 4 1.1.3 Formule des résidus........................................................................... — 5 1.2 Calcul d’intégrales ....................................................................................... — 6 1.2.1 Intégrales de fractions rationnelles................................................... — 7 1.2.2 Intégrales de fractions rationnelles en sinus et cosinus ................ — 8 1.2.3 Intégrales de la forme ............................................. — 9 1.2.4 Intégrales de Gauss et de Fresnel. Sommes de Gauss ................... — 10 1.2.5 Intégrales de la forme ............................................ — 11 1.2.6 Autres exemples................................................................................. — 13 2. Techniques d’étude des applications holomorphes....................... — 14 2.1 Expressions intégrales des coefficients et applications........................... — 14 2.1.1 Inégalités de Cauchy .......................................................................... — 14 2.1.2 Égalité de Parseval ............................................................................. — 14 2.1.3 Applications ........................................................................................ — 15 2.1.4 Principe du maximum........................................................................ — 15 2.2 Modes de définition d’applications holomorphes.................................... — 15 2.2.1 Applications définies par des intégrales........................................... — 15 2.2.2 Suites d’applications holomorphes .................................................. — 17 2.3 Fonction Γ..................................................................................................... — 21 eiλxR x ( ) x d ∞ – +∞∫ t λ 1 – Q t( ) t d 0 +∞∫ L