Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 101 − 1 Analyse fonctionnelle Partie 2 par Gilles GODEFROY Directeur de recherches au Centre national de la recherche scientifique es opérateurs de dérivation ne se représentent pas de façon naturelle comme opérateurs continus sur des espaces normés. Le bon cadre pour le calcul différentiel est fourni par la théorie des distributions, qui impose l’utili- sation d’espaces non normables mais permet de donner un sens à la « dérivée » de fonctions très générales. La transformation de Fourier déploie toute sa puissance dans ce cadre élargi et permet de résoudre effectivement de nombreuses équations aux dérivées partielles, en donnant l’existence et la forme générale des solutions. C’est encore l’analyse de Fourier qui procure le bon outil pour établir les théo- rèmes limites du calcul des probabilités, et faire apparaître le rôle central des variables gaussiennes aux interfaces entre le calcul sur les sphères de grande dimension, la distribution des grandeurs physiques ou biologiques et l’incerti- tude des mesures. Pour aborder sans difficultés cette deuxième partie de l’analyse fonctionnelle, le lecteur consultera, dans ce traité : — [AF 99] - Topologie et mesure ; — [AF 100] - Analyse fonctionnelle. Partie 1. 1. Espaces fonctionnels non normables ................................................ AF 101 - 2 1.1 Lemme de Wielandt .................................................................................... — 2 1.2 Distributions................................................................................................. — 2 2. Transformation de Fourier..................................................................... — 3 3. Calcul des probabilités........................................................................... — 5 3.1 Espaces de probabilité et variables aléatoires.......................................... — 5 3.2 Indépendance............................................................................................... — 7 3.3 Lois limites ................................................................................................... — 7 L