Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 103 − 1 Équations différentielles linéaires par Bernard RANDÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis armi les équations différentielles en général, les équations différentielles linéaires jouissent d’un statut particulier. Cela est dû à leur relative simpli- cité d’étude, ainsi qu’à leur fréquence d’apparition dans la modélisation. En outre, les procédés numériques qui permettent d’en obtenir des solutions appro- chées sont robustes, et ne sont pas soumis aux fluctuations imprévisibles qui sont inhérentes aux phénomènes non linéaires. Le cadre naturel de la modélisation étant habituellement l’espace de dimen- sion 3, les phénomènes fonction des coordonnées spatiales relèvent plus sou- vent des équations aux dérivées partielles. C’est pourquoi les équations différentielles décrivent de préférence des évolutions temporelles, dans lesquel- les la variable scalaire est le temps. Une littérature très riche a été élaborée sur ce sujet, notamment durant le XIXe siècle. Cet article, sans aborder les points les plus techniques soulevés par les fonctions spéciales, se contente d’évoquer les aspects les plus élémentaires de la théorie. 1. Résultats généraux.................................................................................. AF 103 – 2 1.1 Position du problème .................................................................................. — 2 1.2 Description de l’ensemble des solutions................................................... — 3 1.3 Résolvante.................................................................................................... — 4 1.4 Équations différentielles dans un espace de dimension finie ................. — 5 1.5 Cas des équations scalaires d’ordre n ....................................................... — 6 2. Équations différentielles linéaires à coefficients constants ....... — 7 2.1 Position du problème .................................................................................. — 7 2.2 Cas des équations scalaires d’ordre n ....................................................... — 7 3. Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1.................. — 9 3.1 Résolution .................................................................................................... — 9 3.2 Comportement des solutions ..................................................................... — 10 4. Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2.................. — 11 4.1 Généralités ................................................................................................... — 11 4.2 Équations y ’’ + py = 0 avec p � 0 .............................................................. — 13 4.3 Points d’annulation...................................................................................... — 13 5. Problème de Sturm-Liouville ................................................................ — 15 5.1 Généralités ................................................................................................... — 15 5.2 Fonction de Green ....................................................................................... — 15 5.3 Décomposition spectrale ............................................................................ — 17 5.4 Résolution complète du problème de Sturm-Liouville ............................ — 18 5.5 Exemple........................................................................................................ — 18 P