Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 72 − 1 Familles sommables par Bernard RANDÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand a loi d’addition sur les scalaires ou les vecteurs vérifie certaines propriétés, telles que l’associativité et la commutativité, qui permettent de définir naturellement les sommes de familles finies, auxquelles les propriétés de l’addi- tion, considérée comme opération binaire, s’étendent aisément. Les difficultés surviennent lorsque l’on envisage d’étendre la sommation à des familles infinies discrètes, dont l’archétype est la suite indexée par . Si l’on veut en effet que cette sommation soit d’un usage commode, on doit lui conserver les propriétés de la sommation finie : associativité, commutativité par exemple. Une telle con- servation est possible au prix d’une certaine limitation des familles étudiées. Pour ce faire, on étudie, dans un premier temps, les familles positives, pour lesquelles il n’existe qu’un phénomène d’accumulation, sans compensation, qui permet dans tous les cas d’attribuer à la famille une somme, finie ou infinie. On se limite ensuite à l’étude des familles, scalaires ou vectorielles, dont la famille des modules (ou des normes) a une somme finie. Il n’est alors pas difficile d’attribuer à la famille initiale une somme scalaire (ou vectorielle) qui possède toutes les vertus souhaitables : c’est la théorie des familles sommables, qui fait l’objet du présent article. 1. Ensembles dénombrables...................................................................... AF 72 – 2 1.1 Définitions .................................................................................................... — 2 1.2 Propriétés ..................................................................................................... — 2 1.3 Exemples...................................................................................................... — 3 2. Sommabilité .............................................................................................. — 3 2.1 Somme d’une famille positive.................................................................... — 3 2.2 Propriétés élémentaires de la sommation des familles positives.......... — 4 2.3 Théorèmes sur la sommation des familles positives............................... — 4 2.4 Sommabilité des familles quelconques..................................................... — 5 3. Propriétés de la sommation.................................................................. — 6 3.1 Propriétés élémentaires .............................................................................. — 6 3.2 Théorèmes sur la sommation..................................................................... — 7 4. Méthodes d’étude .................................................................................... — 8 4.1 Méthodes générales.................................................................................... — 8 4.2 Familles indexées par une demi-droite de ........................................... — 9 4.2.1 Familles de référence ......................................................................... — 9 4.2.2 Critères pratiques ............................................................................... — 10 4.3 Familles quelconques.................................................................................. — 11 5. Espaces ................................................................................................. — 12 5.1 Présentation ................................................................................................ — 12 5.2 Étude............................................................................................................. — 12 5.3 Dualité et espaces .................................................................................. — 13 N � p � p L N