Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 39 − 1 Fractions rationnelles et séries formelles par Bernard RANDÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis ien que les polynômes soient les outils les plus élémentaires du calcul for- mel, ils ne suffisent pas à exprimer complètement les opérations générales de l’algèbre commutative. C’est pourquoi, pour laisser la possibilité d’effectuer des divisions, il est naturel d’introduire la notion de fraction rationnelle, qui est au polynôme ce que la fraction (appelée encore nombre rationnel) est à l’entier. On décèle alors un procédé général de construction, celui du corps des fractions d’un anneau intègre. En outre, les développements limités, les développements en série entière, et d’autres développements menés soit à un ordre arbitraire, soit de manière illimi- tée, nécessitent l’introduction d’outils adaptés, qui s’expriment dans le cadre des séries formelles. Comme les polynômes, les fractions rationnelles et les séries formelles sont des objets particulièrement bien adaptés à des manipulations formelles, que l’on effectuera grâce à un logiciel. 1. Généralités................................................................................................. AF 39 – 2 1.1 Corps des fractions...................................................................................... — 2 1.1.1 Construction du corps des fractions ................................................. — 2 1.1.2 Minimalité du corps des fractions..................................................... — 3 1.2 Corps des fractions d’un anneau factoriel................................................. — 3 1.3 Corps de fractions rationnelles................................................................... — 3 1.3.1 Corps des fractions rationnelles à plusieurs indéterminées........... — 3 1.3.2 Fractions rationnelles à une indéterminée....................................... — 4 1.3.3 Utilisation d’un logiciel de calcul formel .......................................... — 4 1.4 Séries formelles et séries de Laurent en une indéterminée .................... — 5 1.4.1 Construction de K [[X ]]...................................................................... — 5 1.4.2 Propriétés algébriques de K [[X ]] ..................................................... — 6 1.4.3 Corps des séries formelles de Laurent ............................................. — 6 1.5 Suites récurrentes linéaires à coefficients constants ............................... — 7 2. Calculs dans K (X )................................................................................... — 7 2.1 Décomposition en éléments simples......................................................... — 7 2.1.1 Le théorème ........................................................................................ — 7 2.1.2 Cas d’un corps algébriquement clos................................................. — 8 2.1.3 Cas du corps .................................................................................. — 9 2.1.4 Cas d’un corps arbitraire.................................................................... — 10 2.2 Opérations sur les fractions rationnelles................................................... — 10 2.2.1 Dérivation............................................................................................ — 10 2.2.2 Développement en série .................................................................... — 11 2.2.3 Primitivation........................................................................................ — 12 � B