Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 55 − 1 AF 55 7 - 1997 Calcul différentiel par Danièle LINO Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres Agrégée de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Henri-IV et Bernard RANDÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis es fondements du calcul différentiel, l’introduction de la notion de dérivée, les règles opératoires sur les dérivées et le lien entre intégration et dériva- tion conçues comme opérations inverses l’une de l’autre remontent au dix-septième siècle et principalement à Newton (1642-1727) et à Leibniz (1647-1716). C’est ce dernier mathématicien qui introduit la notation dy/dx défi- nissant la dérivée d’une fonction y. Le théorème de Rolle (1652-1719) date de 1691 et la règle de l’Hospital de 1696. Taylor (1685-1731) énonce en 1715 la formule qui porte son nom. Les for- mules de Taylor avec reste de Lagrange et reste intégral apparaissent chez Lagrange (1736-1813) démontrées de manière rigoureuse. Le calcul différentiel à plusieurs variables apparaît au cours de la première moitié du XVIIIe siècle. En liaison avec des problèmes physiques (mécanique, hydrodynamique) apparaissent les premières équations aux dérivées partielles. En 1743, d’Alembert (1717-1783) étudie l’équation des oscillations d’une chaîne pesante. En 1746, il écrit l’équation des cordes vibrantes (∂2y/ ∂t2 = ∂2y/ ∂x2) qu’il résout quelques années plus tard. 1. Calcul différentiel sur les fonctions d’une seule variable ........... AF 55 - 2 1.1 Le cadre et les notations ............................................................................. — 2 1.2 Dérivée.......................................................................................................... — 2 1.3 Les théorèmes de Rolle et des accroissements finis................................ — 4 1.4 Dérivées successives et applications de classe C n................................... — 6 2. Calcul différentiel sur les applications de plusieurs variables... — 8 2.1 Introduction.................................................................................................. — 8 2.2 Dérivées partielles ....................................................................................... — 9 2.3 Différentiabilité ............................................................................................ — 11 2.4 Applications continuement différentiables ............................................... — 14 2.5 Inégalité des accroissements finis ............................................................. — 15 2.6 Difféomorphismes....................................................................................... — 17 2.7 Application de classe Ck Dérivée partielles d’ordre quelconque ............ — 19 2.8 Formule de Taylor........................................................................................ — 21 3. Applications du calcul différentiel ..................................................... — 23 3.1 Fonctions convexes..................................................................................... — 23 3.2 Développement en série entière ................................................................ — 25 3.3 Extrémum d’une fonction de plusieurs variables..................................... — 26 3.4 Théorème des fonctions implicites............................................................ — 27 3.5 Exemples de résolution d’équations aux dérivées partielles .................. — 29 3.6 Utilisation des notations de Leibniz........................................................... — 31 L