Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 87 − 1 Réduction des endomorphismes par Rached MNEIMNÉ Maître de conférences à l’Université Paris VII, Denis-Diderot Agrégé en mathématiques Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud ’algèbre linéaire naît historiquement du besoin de fonder sur des bases solides l’étude des systèmes d’équations linéaires, mais, également, de celui de saisir ce qui survit à la géométrie d’Euclide, une fois gommé l’effet des translations, et, éventuellement, oubliée l’idée de distance. La réduction des endomorphismes n’apparaît que plus tard, et c’est lors de l’examen des équa- tions différentielles à singularités régulières (théorie de Fuchs) que C. Jordan aborde la réduction qui portera son nom. L’algèbre linéaire se développe petit à petit en une spécialité digne d’intérêt en elle-même, et devient, au sens élémentaire du terme, la « science » qui s’occupe de matrices ou encore d’espaces vectoriels et d’applications linéaires entre ces espaces vectoriels. Les objectifs de base se réduisent, grosso modo, à l’examen de quatre, voire cinq, principales relations d’équivalence définies entre matrices. Il s’agit en fait : — de la r-équivalence (A = PBQ) ; — de la PG-équivalence (A = PB), qui fonde la première des sources histori- ques évoquées ci-dessus (PG comme pivot de Gauss) ; — de la similitude (A = PBP –1), qui est l’objet de notre étude ; — de la congruence (A = PBtP). 1. Manipulations premières sur la relation de similitude ................. AF 87 - 3 2. Valeurs propres. Polynôme caractéristique. Polynôme minimal................................................................................... — 4 3. La partition de par classes de similitude .......................... — 9 4. Suite des noyaux itérés. Tableaux de Young.................................... — 10 5. Matrices nilpotentes. Cône nilpotent ................................................ — 12 6. La jordanisation pour elle-même......................................................... — 15 7. Familles particulières de matrices. Les matrices de la classe δ.................................................................... — 15 8. Calcul de la dimension du commutant.............................................. — 16 9. Réduction simultanée............................................................................. — 17 10. Autre point de vue sur la jordanisation. La version - modules .................................................................... — 18 11. Matrices de Hessenberg......................................................................... — 19 12. Le cas réel .................................................................................................. — 20 13. Similitude et congruence. Matrices symétriques réelles ............. — 22 14. Quelques exemples récapitulatifs....................................................... — 25 Références bibliographiques ........................................................................ — 26 M n � , ( ) � X [ ] L