Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 201 − 1 Analyse combinatoire avancée par Louis COMTET Agrégé de Mathématiques Docteur ès Sciences Mathématiques Maître de conférences à l’Université de Paris-Sud es outils de base, combinaisons, arrangements et cribles, ont été introduits et commentés dans le fascicule précédent. Il s’agit à présent d’en présenter d’autres, plus avancés, comme la notion de répétitions qui sera étudiée en long et en large. Des exemples classiques d’applications de tout l’appareil combinatoire ainsi forgé seront ensuite proposés. Les cas historiques des ménages, des anniversai- res, des parenthésages, des nombres de Fibonacci et de Lucas, sans omettre quelques autres bien sentis issus de la Géométrie, seront traités avec détails. Enfin, une étude générale de divers développements, convergents ou non, uti- les dans les calculs combinatoires approfondis à venir, viendront parachever cette seconde partie par des résultats parfois méconnus. 1. Répétitions................................................................................................. AF 201 – 2 1.1 Partages d’ensemble, coefficients multinomiaux..................................... — 2 1.2 Formule du multinôme ou identité multinomiale..................................... — 3 1.3 Combinaisons avec répétitions : définitions ............................................. — 4 1.4 Combinaisons avec répétitions : propriétés.............................................. — 5 1.5 Combinaisons avec répétitions conditionnées ......................................... — 5 1.6 Discernable et indiscernable....................................................................... — 6 2. Quelques problèmes classiques........................................................... — 8 2.1 Combinaisons rectilignes. Nombres de Fibonacci ................................... — 8 2.2 Combinaisons sur un cercle. Nombres de Lucas...................................... — 9 2.3 Droites et points du plan............................................................................. — 10 2.4 Polygones convexes.................................................................................... — 11 2.5 Problème des anniversaires ....................................................................... — 11 2.6 Problème des ménages............................................................................... — 12 2.7 Nombres de Catalan.................................................................................... — 13 2.8 Identité d’Abel.............................................................................................. — 14 2.9 Identités combinatoires. Rang des formules............................................. — 15 3. Séries et développements combinatoires......................................... — 16 3.1 Série du binôme .......................................................................................... — 16 3.2 Estimation des coefficients binomiaux...................................................... — 17 3.3 Série du multinôme..................................................................................... — 18 3.4 Formule de Leibniz ...................................................................................... — 19 3.5 Polynômes de Bell et formule de Faà de Bruno........................................ — 20 3.6 Polynômes potentiels.................................................................................. — 21 3.7 Itération fractionnaire des séries entières formelles ................................ — 22 3.8 Formule de réversion de Lagrange............................................................ — 24 3.9 Convergence de la série de Lagrange........................................................ — 26 Références bibliographiques ......................................................................... — 29 L