Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 73 − 1 Procédés sommatoires Les séries par Bernard RANDÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand n procédé sommatoire consiste à attribuer une « somme » à une famille infinie d’éléments d’un espace vectoriel normé. Lorsque la famille est som- mable (cf. article [AF 72] de ce traité), le plus simple est de lui attribuer la somme de cette famille sommable. Lorsqu’elle ne l’est pas, il convient de mettre en œuvre un procédé de sommation qui tienne compte de la situation réelle : ce peut être l’indexation de l'ensemble ou, encore, la nature du phénomène étudié. Lorsqu'il s’agit, par exemple, de décomposer un phénomène périodique qui fait apparaître des discontinuités, il est nécessaire de passer par un développement en série de Fourier qui ne correspond pas à une famille sommable : il s’agit soit d’une série indexée par , soit même de la limite de sommes symétriques. Dans cet article sont étudiées les séries numériques, qui constituent de loin l’exemple le plus élémentaire de procédé de sommation. Outre quelques métho- des d’étude de la convergence, on trouvera des exemples de calculs exacts de sommes de telles séries. Dans l'article « Développements asymptotiques » [AF 74] seront abordés les procédés d’évaluation asymptotique ou numérique de sommes, que ce soient des sommes finies ou des sommes de série. En relation avec ce sujet seront évo- qués les produits infinis. On y trouvera aussi d’autres procédés de sommation. 1. Les séries.................................................................................................... AF 73 - 2 1.1 Définitions .................................................................................................... — 2 1.2 Séries absolument convergentes............................................................... — 2 1.3 Critère de Leibniz......................................................................................... — 3 1.4 Procédé d’Abel ............................................................................................. — 3 1.5 Permutation de termes................................................................................ — 4 1.6 Regroupement de termes ........................................................................... — 5 1.7 Produit de convolution de deux séries ...................................................... — 5 2. Calculs de sommes de séries................................................................ — 6 2.1 Télescopages................................................................................................ — 6 2.2 Utilisation de séries entières dans le disque de convergence................. — 7 2.2.1 Fractions rationnelles ......................................................................... — 7 2.2.2 Fonction exponentielle....................................................................... — 8 2.3 Utilisation de séries entières sur le bord du disque de convergence ..... — 9 2.3.1 Sommes alternées d’inverses de suites arithmétiques................... — 9 2.3.2 Sommes liées aux coefficients binomiaux....................................... — 10 2.4 Utilisation de développements asymptotiques ........................................ — 10 2.5 Utilisation de développements eulériens.................................................. — 11 2.5.1 Développement de cotan en série de fractions rationnelles........... — 11 2.5.2 Développement de cotan en série de Laurent ................................. — 11 2.6 Utilisation de séries de Fourier................................................................... — 12 U �