Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 142 − 1 A 142 11 - 1993 Analyse harmonique, distributions, convolution par Thomas LACHAND-ROBERT Ancien élève de l’École Polytechnique Maître de Conférences à l’Université de Paris VI ’analyse harmonique est, à l’origine, la branche des mathématiques qui traite des signaux périodiques, ou quasi périodiques (avec une définition que nous préciserons dans le cours de cet article). Introduite par Fourier pour l’étude de l’équation de la chaleur, où il remporta un grand succès, elle est très vite devenue un outil essentiel non seulement du mathématicien (pour la résolution de certaines équations, comme les équations des ondes ou les équations de convolution), mais aussi du physicien (pour les phénomènes d’ondes ou de pro- pagation, l’optique, etc.), de l’astronome (mécanique céleste, spectroscopie), de l’électricien (équations des circuits électriques) ; elle trouve des applications 1. Historique................................................................................................... A 142 - 3 1.1 Naissance des séries trigonométriques..................................................... — 3 1.2 Fourier et l’équation de la chaleur ............................................................. — 3 1.3 La question des fonctions « arbitraires »................................................... — 4 1.4 Convolution.................................................................................................. — 5 2. Notations.................................................................................................... — 6 3. Distributions.............................................................................................. — 6 3.1 Bases mathématiques................................................................................. — 6 3.2 Fonctions indéfiniment dérivables à support compact........................... — 8 3.3 Espace des distributions ............................................................................. — 9 3.4 Propriétés des distributions........................................................................ — 9 3.5 Convolution.................................................................................................. — 11 3.6 Exemples de distributions .......................................................................... — 12 4. Transformation de Fourier..................................................................... — 13 4.1 Transformée de Fourier d’une fonction ..................................................... — 13 4.2 Transformée d’une distribution.................................................................. — 13 4.3 Propriétés de la transformation de Fourier .............................................. — 14 5. Séries de Fourier ...................................................................................... — 16 5.1 Fonctions et distributions périodiques ...................................................... — 16 5.2 Expression des séries de Fourier ............................................................... — 17 5.3 Propriétés des coefficients de Fourier ....................................................... — 19 5.4 Spectre d’une fonction périodique ou quasi périodique......................... — 22 6. Calcul pratique ......................................................................................... — 23 6.1 Calcul des coefficients de Fourier .............................................................. — 23 6.2 Calcul de la somme d’une série de Fourier.............................................. — 25 6.3 Calcul d’une transformée de Fourier ......................................................... — 25 6.4 Transformée de Fourier rapide................................................................... — 25 7. Extensions de la notion de transformée de Fourier....................... — 27 7.1 Transformation de Laplace ......................................................................... — 27 7.2 Transformation de Hankel........................................................................... — 29 7.3 Ondelettes .................................................................................................... — 29 Références bibliographiques ......................................................................... — 30 L