Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 112 − 1 Analyse complexe Théorie des applications holomorphes par Bernard RANDÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis es nombres complexes se sont introduits en premier lieu dans les formules de résolution par radicaux des équations du troisième et du quatrième degré (travaux de Cardan, de Ferrari et de Scipion del Ferro au XVI e siècle). Jusqu’à la création du calcul infinitésimal, leur existence a été d’ordre algébrique. De ce seul point de vue, le théorème fondamental de l’algèbre, qui stipule que tout polynôme admet une racine complexe, est déjà un enjeu qui nécessite un examen approfondi de la nature géométrique du champ complexe. D’autre part, la trigonométrie conduit Euler à énoncer ses formules célèbres, qui relient l’exponentielle complexe aux lignes circulaires réelles. De cette période date l’étude précise des fonctions de la variable complexe. Il apparaît rapidement que, si elles ne posent pas de problème essentiellement nouveau quant à leur continuité, elles nécessitent un autre traitement lorsqu’il s’agit de leur dérivabilité. Cela est dû à la nature même du plan complexe : contrairement à la droite réelle, il ne peut être muni d’une structure de corps ordonné, ce qui permet jus- tement à – 1 d’y trouver une racine carrée, le nombre « i ». D’un autre côté, une 1. Dérivabilité d’une fonction de la variable complexe..................... AF 112 – 2 1.1 Définitions .................................................................................................... — 2 1.2 Propriétés élémentaires .............................................................................. — 3 1.3 Conditions de Cauchy-Riemann................................................................. — 4 1.4 Applications holomorphes.......................................................................... — 5 2. Applications analytiques ....................................................................... — 5 2.1 Séries entières ............................................................................................. — 5 2.2 Propriétés des fonctions analytiques......................................................... — 5 2.3 Prolongement analytique............................................................................ — 6 3. Le problème de la primitivation........................................................... — 7 3.1 Intégration sur un chemin........................................................................... — 7 3.2 Primitives...................................................................................................... — 8 3.3 Théorème fondamental des fonctions holomorphes............................... — 9 4. Exemples .................................................................................................... — 12 4.1 Exemples de fonctions entières ................................................................. — 12 4.1.1 Application exponentielle complexe. Logarithme........................... — 12 4.1.2 Applications trigonométriques.......................................................... — 14 4.2 Exemples d’applications holomorphes sur le plan fendu........................ — 14 4.2.1 Logarithme principal .......................................................................... — 14 4.2.2 Racine carrée principale. Notation z α .............................................. — 16 4.3 Exemples d’applications méromorphes.................................................... — 17 4.3.1 Généralités .......................................................................................... — 17 4.3.2 Fractions rationnelles......................................................................... — 17 4.3.3 Fonction Γ............................................................................................ — 18 L