Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 100 − 1 A 100 11 - 1993 Topologie par André WARUSFEL Professeur de Mathématiques Spéciales au Lycée Louis-le-Grand usqu’au dix-septième siècle les mathématiques, centrées sur les concepts de point et de nombre, objets de constructions géométriques et de calculs algébriques, n’avaient qu’incidemment effleuré le domaine de l’analyse. Ce der- nier a très vite pris le pas sur le reste des mathématiques, car il a notamment constitué le cœur et le moteur principal de la révolution technologique qui a carac- térisé les trois siècles suivants, permettant à l’homme de parachever sa domi- nation sur la nature, notamment par le biais des applications physico-chimiques et industrielles du calcul différentiel et intégral. 1. Topologie de la droite réelle ................................................................. A 100 - 3 1.1 Limites de suites réelles.............................................................................. — 3 1.2 Ensembles fermés de nombres réels......................................................... — 3 1.3 Ensembles ouverts de nombres réels........................................................ — 3 1.4 Quelques propriétés d’ouverts et fermés de la droite réelle ................... — 4 1.5 Extension aux ensembles de nombres...................................................... — 4 1.6 Axiomes de la topologie générale ............................................................. — 4 2. Espaces métriques................................................................................... — 5 2.1 La distance, concept universel ................................................................... — 5 2.2 Espaces métriques et droite réelle............................................................. — 5 2.3 Boules ouvertes d’un espace métrique ..................................................... — 6 2.4 Topologie d’un espace métrique................................................................ — 6 2.5 Convergence d’une suite dans un espace métrique................................. — 6 2.6 Clôture et adhérence d’une partie.............................................................. — 7 3. Continuité dans les espaces métriques............................................. — 7 3.1 Continuité d’une fonction en un point....................................................... — 7 3.2 Continuité globale et topologie.................................................................. — 8 4. Espaces connexes et parties connexes ............................................. — 9 4.1 Continuité, connexité et compacité............................................................ — 9 4.2 Introduction élémentaire de la connexité.................................................. — 9 4.3 Définitions topologiques de la connexité.................................................. — 9 4.4 Propriétés fondamentales des parties connexes...................................... — 9 4.5 Exemples et contre-exemples de connexité.............................................. — 10 5. Espaces compacts et parties compactes.......................................... — 10 5.1 Compacité et parties bornées de réels ...................................................... — 10 5.2 Propriétés fondamentales des parties compactes.................................... — 10 5.3 Continuité et compacité .............................................................................. — 11 5.4 Compacité et topologie............................................................................... — 11 5.5 Compacité et théorèmes de Lebesgue ...................................................... — 11 6. Espaces complets et parties complètes............................................ — 12 6.1 Suites de Cauchy ......................................................................................... — 12 6.2 Suites de Cauchy et topologie réelle ......................................................... — 12 6.3 Définition séquentielle de la complétude.................................................. — 12 6.4 Théorème du point fixe et espaces complets ........................................... — 13 6.5 Notion d’espace vectoriel normé complet ................................................ — 13 Références bibliographiques ......................................................................... — 14 J