Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité L’entreprise industrielle AF 95 − 1 Variétés différentielles par Johan YEBBOU Professeur agrégé en classe préparatoire au lycée Charlemagne de Paris a géométrie différentielle classique traite des courbes et des surfaces de l’espace euclidien au point de vue du calcul différentiel. Parmi les notions étudiées dans ce cadre, citons les tangentes aux courbes, les plans tangents aux surfaces, la courbure, les longueurs et les aires, les champs de vecteurs et leurs courbes intégrales. Ce point de vue élémentaire des courbes et des surfaces s’avère vite insuffi- sant face à la nécessité d’envisager des ensembles de points dépendant d’un nombre quelconque de paramètres. En précisant convenablement cette idée, on aboutit à la notion de variété différentielle qui est à la base de la géométrie diffé- rentielle moderne. Dans cet article, nous étudierons d’abord les propriétés des courbes et des sur- faces puis les notions générales liées à la structure de variété différentielle. 1. Étude classique des courbes et des surfaces .................................. AF 95 – 2 1.1 Courbes ........................................................................................................ — 2 1.1.1 Arcs paramétrés.................................................................................. — 2 1.1.2 Propriétés affines locales des arcs.................................................... — 2 1.1.3 Longueurs, abscisse curviligne ......................................................... — 3 1.1.4 Représentation normale d’un arc...................................................... — 4 1.1.5 Courbure. Vecteur normal principal.................................................. — 4 1.1.6 Étude spécifique des courbes planes................................................ — 4 1.1.7 Repère de Frenet, torsion en dimension 3 ....................................... — 5 1.2 Surfaces paramétrées ................................................................................. — 5 1.2.1 Arcs tracés sur une nappe ................................................................. — 6 1.2.2 Point régulier. Plan tangent. Normale............................................... — 7 1.2.3 Notion de nappe géométrique .......................................................... — 7 1.2.4 Première forme fondamentale .......................................................... — 7 1.2.5 Repère de Darboux-Ribaucour .......................................................... — 8 1.2.6 Deuxième forme quadratique fondamentale................................... — 8 1.2.7 Arcs remarquables d’une nappe. Géodésiques............................... — 9 1.2.8 Courbures principales, moyenne, totale........................................... — 9 2. Étude moderne des variétés ................................................................. — 10 2.1 Variétés......................................................................................................... — 10 2.1.1 Introduction......................................................................................... — 10 2.1.2 Notion de variété ................................................................................ — 10 2.1.3 Exemples de variétés ......................................................................... — 11 2.1.4 Applications différentiables............................................................... — 12 2.2 Vecteurs et espace tangents ....................................................................... — 13 2.2.1 Notion de vecteur tangent ................................................................. — 13 2.2.2 Fibré tangent, différentielle................................................................ — 14 2.2.3 Flot des champs de vecteurs ............................................................. — 14 2.3 Formes différentielles.................................................................................. — 15 2.3.1 Formes différentielles de degré 1...................................................... — 15 2.3.2 Notions sur les formes différentielles de degré supérieur.............. — 17 2.3.3 Différentielle extérieure...................................................................... — 18 2.3.4 Formule de Stokes.............................................................................. — 18 Référence bibliographique ............................................................................. — 19 L