Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 141 − 1 Séries de Fourier par Hervé QUEFFÉLEC Professeur de mathématiques à l’Université de Lille appelons qu’une fonction f : → est dite T – périodique si, f (x + T ) = f (x ) pour tout x réel ; On peut toujours se ramener à T = 2π, quitte à considérer g(x) = . Une des propriétés essentielles du nombre π est que les fonctions cos nx, sin nx, einx (où n est entier), appelées « signaux élémentaires », sont 2π - pério- diques ainsi que leurs combinaisons linéaires ; une question naturelle se pose alors : obtient-on ainsi toutes les fonctions 2π – périodiques ? On va voir que la réponse est essentiellement « oui » si on autorise les combinaisons linéaires infinies (séries), mais des problèmes délicats de régularité de la fonction f et de convergence des séries surgissent. 1. Coefficients de Fourier d’une fonction 2π – périodique ................ AF 141 - 3 1.1 Classes de fonctions localement intégrables............................................. — 3 1.2 Formules de Fourier..................................................................................... — 3 1.3 Convolution de deux fonctions et théorème d’unicité.............................. — 4 1.4 Cas des séries uniformément convergentes.............................................. — 5 1.5 Règles de calcul............................................................................................ — 6 2. Développement en série de Fourier..................................................... — 6 2.1 Noyau de Dirichlet........................................................................................ — 6 2.2 Théorème de Dirichlet.................................................................................. — 7 2.3 Principe de localisation de Riemann et retour à Dirichlet......................... — 8 3. Exemples de développement en série de Fourier............................ — 9 3.1 Cas des fonctions paires ou impaires......................................................... — 9 3.2 Fonction signal. Fonction triangle............................................................... — 10 3.3 Fonction ;;;cos;;;. Théorème de Weierstrass .................................................. — 10 4. Cas des fonctions localement de carré intégrable ......................... — 11 4.1 Base des exponentielles imaginaires ......................................................... — 11 4.2 Inégalité de Bessel. Identité de Parseval .................................................... — 12 4.3 Fonctions de classe C 1 et convergence normale. ..................................... — 13 4.4 Retour au théorème de Weierstrass ........................................................... — 13 5. Équation de la chaleur pour une barre finie...................................... — 13 5.1 Modélisation du problème .......................................................................... — 13 5.2 Séparation des variables et séries de Fourier............................................ — 14 5.3 Principe du maximum.................................................................................. — 14 5.4 Théorème d’existence et d’unicité.............................................................. — 15 6. Applications diverses des séries de Fourier ..................................... — 16 6.1 Inégalité de Wirtinger................................................................................... — 16 6.2 Une équation aux différences ..................................................................... — 17 6.3 Critère de Weyl. Loi de Benford .................................................................. — 18 Références bibliographiques.......................................................................... — 20 R � � f Tx 2π ------- � � � �