Probl`emes de Math´ematiques Translat´ees d’une application ´Enonc´e Translat´ees d’une application On note E l’espace vectoriel des applications de classe C∞ de IR dans IR. – Pour toute application f de E et pour tout r´eel t, on pose : ∀x ∈ IR, ft(x) = f(x + t). On dit que l’application ft, qui appartient `a E, est une translat´ee de f. – On note Ef le sous-espace de E engendr´e par les ft, c’est-`a-dire l’ensemble des applications g de E qui peuvent s’´ecrire au moins d’une mani`ere sous la forme g = λ1ft1 +λ2ft2 +· · ·+λpftp, o`u λ1, λ2, . . . , λp et t1, t2, . . . , tp sont des familles de p r´eels quelconques (p ´etant lui mˆeme un entier positif quelconque). 1. Dans chacun des cas suivants, v´erifier que Ef est de dimension finie et en donner une base form´ee de fonctions du type ft : (a) L’application f est d´efinie par : f(x) = exp(x) [ S ] (b) L’application f est d´efinie par : f(x) = sin x [ S ] (c) L’application f est d´efinie par : f(x) = x. [ S ] 2. Montrer que si f est de la forme x → f(x) = P(x)eαx , o`u P est un polynˆome et α un r´eel, alors Ef est de dimension finie. [ S ] 3. On suppose que f est d´efinie par f(x) = exp(exp x). Montrer que pour tout entier n ≥ 0, les fonctions f0, f1, . . . , fn forment une famille libre. Qu’en d´eduit-on pour le sous-espace Ef ? [ S ] 4. Dans cette question, on caract´erise les familles libres finies de E `a l’aide d’un d´eterminant. (a) Soit g1, g2 une famille libre de E. Montrer qu’on peut trouver deux r´eels distincts a1 et a2 tels que le d´eterminant ���� g1(a1) g1(a2) g2(a1) g2(a2) ���� soit non nul. [ S ] (b) Montrer plus g´en´eralement que si g1, g2, . . . , gn est une famille libre de E, on peut trouver n r´eels a1, a2, . . . , an distincts deux `a deux, tels que le d´eterminant ∆n, carr´e d’ordre n et de terme g´en´eral δij = gi(aj), soit non nul. [ S ] 5. Soit f un ´el´ement de E, tel que dim(Ef) = n ≥ 1. Soit g1, . . . , gn une base de Ef. (a) Montrer qu’il existe une unique suite h1, . . . , hn d’applications de IR dans IR telle que : ∀(x, t) ∈ IR2, f(x + t) = h1(t)g1(x) + h2(t)g2(x) + · · · + hn(t)gn(x). [ S ] (b) Montrer qu’on peut trouver n r´eels a1, . . . , an distincts deux `a deux tels que pour tout j de {1, . . . , n}, hj soit combinaison lin´eaire de fa1, . . . , fan. Indication : utiliser 4b et consid´erer un certain syst`eme de Cramer. En conclure que h1, h2, . . . , hn appartiennent `a Ef. [ S ] (c) Montrer que les d´eriv´ees successives de f sont dans Ef (utiliser 5a.) En d´eduire que f satisfait `a une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre n `a coefficients constants. [ S ] 6. Trouver tous les ´el´ements f de E tels que dim Ef ≤ 2. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.