Exercices de Math´ematiques Le groupe sym´etrique (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] On consid`ere la permutation σ = � 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 12 1 10 9 11 4 3 2 7 8 5 � de S12. 1. D´ecomposer σ en produits de cycles `a supports disjoints. 2. D´ecomposer σ en produits de transpositions. 3. Quelle est la parit´e de σ ? 4. Calculer l’entier minimum n tel que σn = Id. 5. Calculer σ1999. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] 1. A quelle condition une permutation σ commute-t-elle avec une tranposition τ = (i, j) ? 2. En d´eduire que si n ≥ 3, seule Id commute avec tous les ´el´ements de Sn. 3. Montrer que si n ≥ 4, seule Id commute avec toutes les permutations paires. Indication : utiliser les cycles de longueur 3. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] 1. Montrer que le groupe sym´etrique Sn (avec n ≥ 2) est engendr´e par les transpositions τj = (j, j + 1) avec 1 ≤ j ≤ n − 1. 2. D´ecomposer σ = � 1 2 3 4 5 4 5 2 1 3 � en produit de telles transpositions. NB : on utilisera la d´ecomposition de σ en produit de cycles `a supports disjoints. 3. Passer du mot MERCI au mot CRIME par des ´echanges de lettres contig¨ues : (a) Par une m´ethode s’appuyant sur la question pr´ec´edente. (b) Par une m´ethode directe. En d´eduire une nouvelle r´eponse `a la question (2). Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] 1. On suppose n ≥ 3 et on note c la permutation circulaire c = � 1 2 · · · n − 1 n 2 3 · · · n 1 � Montrer que le groupe Sn est engendr´e par c et par la transposition τ = (1, 2). Indication : on utilisera le r´esultat de la question (1) de l’exercice pr´ec´edent. 2. Application : on veut passer du mot MERCI au mot CRIME uniquement par des rotations du mot vers la droite ou des ´echanges des deux premi`eres lettres. (a) Donner une solution utilisant le r´esultat la question (2) de l’exercice pr´ec´edent. (b) Imaginer une solution directe, n´ecessitant beaucoup moins d’´etapes. Commenter. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.