Exercices de Math´ematiques Le groupe sym´etrique (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] 1. Montrer que Sn (n ≥ 2) est engendr´e par les transpositions τj = (1, j) avec 2 ≤ j ≤ n. 2. D´ecomposer σ = � 1 2 3 4 5 4 5 2 1 3 � en produit de telles transpositions. NB : on utilisera la d´ecomposition de σ en produit de cycles `a supports disjoints. 3. Passer de MERCI `a CRIME par des ´echanges de deux lettres dont la premi`ere. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Dans Sn, soit c la permutation circulaire (1, 2, . . . , n − 1, n). Montrer que les permutations qui commutent avec c sont les puissances de c. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] On se donne un entier n ≥ 2. 1. Montrer que si deux cycles commutent, alors leurs supports sont identiques ou disjoints. 2. Inversement former deux cycles σ et σ′ ayant mˆeme support, mais tels que σ ◦ σ′ ̸= σ′ ◦ σ. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] On se place dans le groupe sym´etrique Sn, avec n ≥ 3. Montrer que toute permutation paire est un produit de cycles du type ck = (1, 2, k) avec 3 ≤ k ≤ n. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] 1. Montrer que dans le groupe sym´etrique Sn (avec n ≥ 3), toute permutation paire est un produit de cycles de longueur 3. 2. Effectuer une telle d´ecomposition pour σ = � 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 1 � Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.