Exercices de Math´ematiques Anneaux, sous-anneaux (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit A un anneau et C = {x ∈ A, ∀ y ∈ A, xy = yx} (on dit que C est le centre de A). Montrer que C est un sous-anneau de A. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Dans l’anneau A, on suppose que : ∀ (a, b) ∈ A 2, (a2 − a)b = b(a2 − a). 1. Montrer que ∀ (x, y, z) ∈ A 3, (xy + yx)z = z(xy + yx). 2. Montrer que A est un anneau commutatif. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit A un anneau sans ´el´ement nilpotent (autre que 0). Soit a un ´el´ement idempotent de A (c’est-`a-dire tel que a2 = a). Montrer que a commute avec tout ´el´ement de A. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit A un anneau dans lequel, pour tout ´el´ement x, x2 = x. (Anneau de Boole) 1. Donner des exemples d’une telle situation. 2. Montrer que pour tout a de A, 2a = 0. En d´eduire que A est commutatif. 3. Montrer que A ne peut pas se r´eduire `a trois ´el´ements. 4. On suppose que A est fini et de cardinal sup´erieur `a 2. Montrer que A poss`ede des diviseurs de z´ero. 5. Montrer que si card(A) = 4, alors A est unique `a un isomorphisme pr`es. 6. Montrer que si A est fini, alors son cardinal est une puissance de 2. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.