Exercices de Math´ematiques Arithm´etique dans ZZ (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] 1. Soient m et n deux entiers premiers entre eux. Soient a et b deux entiers. Montrer que le syst`eme � x ≡ a (mod m) x ≡ b (mod n) poss`ede des solutions et que celles-ci forment une classe d’entiers modulo mn. 2. R´esoudre le syst`eme � x ≡ 3 (mod 12) x ≡ 5 (mod 9) Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme N = 4k + 3. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] R´esoudre dans ZZ l’´equation 2520x − 3960y = 6480. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit p un nombre premier. 1. Montrer que pour tout entier k compris entre 1 et p − 1, C k p est divisible par p. 2. En d´eduire que pour tous entiers a et b, (a + b)p ≡ ap + bp (mod p). 3. Montrer que pour tout entier n, np ≡ n (mod p) (c’est le petit th´eor`eme de Fermat.) 4. Qu’obtient-on si p ne divise pas n ? Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que pour tous entiers m et n, N = mn(m60 − n60) est divisible par 56786730. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.