Exercices de Math´ematiques Lois de composition (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un ensemble muni d’une loi associative not´ee multiplicativement. Pour tout a de E, on note aEa = {axa, x ∈ E}. On suppose qu’il existe un ´el´ement a de E tel que aEa = E. Montrer que E poss`ede un ´el´ement neutre. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un ensemble fini muni d’une loi de composition ⋆ On suppose qu’il existe deux ´el´ements a et b dans E tels que, pour tous x, y : � a ⋆ x = a ⋆ y ⇒ x = y (on dit que a est r´egulier `a gauche) x ⋆ b = y ⋆ b ⇒ x = y (on dit que b est r´egulier `a droite) 1. Montrer qu’il existe e et f dans E tels que a ⋆ e = a et f ⋆ b = b. 2. Montrer que pour tout x de E, e ⋆ x = x et x ⋆ f = x. 3. Montrer que e = f, et que cet ´el´ement est neutre pour la loi ⋆. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Sur l’ensemble de toutes les relations binaires sur E on d´efinit la loi ⋆ par : Pour toutes relations R et S, la relation T = R ⋆ S est telle que ∀ x, y ∈ E, xT y ⇔ ∃ z ∈ E, xRz et zSy Montrer que la loi ⋆ est associative. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] On d´efinit sur IR la loi x ⋆ y = x + y + sin(xy). 1. Cette loi est-elle commutative ? Existe-t-il un ´el´ement neutre ? 2. Montrer qu’il existe des ´el´ements de IR admettant plusieurs inverses. 3. En d´eduire que ⋆ n’est pas associative. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Combien y-a-t-il de lois de composition sur un ensemble `a n ´el´ements ? Combien de ces lois sont-elles commutatives ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.