Probl`emes de Math´ematiques Puissances d’une matrice `a param`etres ´Enonc´e Puissances d’une matrice `a param`etres Soient α et β deux r´eels. Soit f l’endomorphisme de IR3 de matrice M = � � α 0 −1 2 α β −3 − β −1 α � � dans la base canonique. 1. (a) A quelle condition sur α, β l’application f est-elle un automorphisme de IR3 ? [ S ] (b) Calculer les valeurs propres de f. [ S ] (c) D´eterminer les sous-espaces propres de f. [ S ] (d) L’application f est-elle diagonalisable ? [ S ] 2. On pose u = (1, −2 − β, 1), v = (0, −2, −1) et w = (1, 1 − β, −2). (a) Montrer que u, v, w forment une base de IR3. [ S ] (b) Montrer que (f − (α − 1)Id)2 est de rang 1. [ S ] (c) V´erifier que u et v forment une base de ker(f − (α − 1)Id)2. [ S ] 3. On pose P = � � 1 0 1 −2 − β −2 1 − β 1 −1 −2 � �. (a) Montrer que P est inversible et calculer P −1. [ S ] (b) D´eterminer la matrice N de f dans la base (u, v, w). [ S ] (c) Calculer N n pour tout entier n de IN. [ S ] (d) En d´eduire M n pour tout entier n de IN. [ S ] 4. On veut retouver M n par une autre m´ethode. On pose A = � � 1 0 −1 2 1 β −3 − β −1 1 � � (a) Calculer An, pour tout entier naturel n. [ S ] (b) Montrer que M n = ϕ(n)A2 + n(α − 1)n−1A + (α − 1)nI3, o`u ϕ : IN → IR. [ S ] (c) Calculer ϕ(n), pour tout n de IN, et retrouver ainsi une expression de M n. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.