Probl`emes de Math´ematiques Matrices stochastiques ´Enonc´e Matrices stochastiques On note En le sous-ensemble de Mn(IR) form´e des matrices M = (mij) telles que : – Pour tous indices i et j de {1, . . . , n}, mij ≥ 0. – Pour tout indice i de {1, . . . , n}, n � j=1 mij = 1. 1. Montrer que l’ensemble En est non vide et qu’il est stable pour le produit des matrices. [ S ] 2. Dans toute la suite du probl`eme, M est un ´el´ement quelconque de En. Montrer que 1 est valeur propre de M, et indiquer un vecteur propre associ´e tr`es simple. [ S ] 3. Soit λ une valeur propre r´eelle ou complexe de M. On note u un vecteur propre associ´e, r´eel ou complexe. On note u1, u2, . . . , un les composantes successives de u. (a) Soit h un indice de {1, . . . , n} tel que ;;;uh;;; = max{;;;uj;;; , 1 ≤ j ≤ n}. Montrer que ;;;λ − mhh;;; ≤ 1 − mhh. En d´eduire que ;;;λ;;; ≤ 1. [ S ] (b) Soit d = min{mjj, 1 ≤ j ≤ n}. Montrer que ;;;λ − d;;; ≤ 1 − d. Donner une interpr´etation g´eom´etrique de ce r´esultat. Montrer que si d > 0, alors 1 est la seule valeur propre de M de module 1. [ S ] 4. Montrer que si mjj > 1 2 pour tout indice j de {1, . . . , n}, alors M est inversible. [ S ] 5. On suppose que pour tous indices (i, j) de {1, . . . , n}, mij est strictement positif. Montrer que la matrice M − In est de rang n − 1. Indication : si le vecteur r´eel u = (u1, . . . , un) est dans ker(M −In), utiliser la composante ui qui est minimum. [ S ] 6. Dans cette question, λ est une valeur propre de module 1 de M. On va montrer que λ est une racine m-i`eme de l’unit´e, avec 1 ≤ m ≤ n. Pour cela, on note u = (u1, u2, . . . , un) un vecteur propre r´eel ou complexe de M pour λ. Soit h un indice de {1, . . . , n} tel que ;;;uh;;; = max{;;;uj;;; , 1 ≤ j ≤ n}. (a) Montrer qu’il existe un indice k de {1, . . . , n} tel que λuh = uk. Indication : consid´erer l’enveloppe convexe des points Ak d’affixes uk. C’est une plaque polygˆonale P incluse dans le disque de centre 0 et de rayon ;;;uh;;;. V´erifier que le point B d’affixe λAh est un ´el´ement de P. [ S ] (b) En d´eduire qu’il existe un entier m compris entre 1 et n tel que λm = 1. [ S ] 7. Dans cette question, on suppose que ε = min{mi,j, 1 ≤ i, j ≤ n} est strictement positif. On s’int´eresse `a la suite des puissances M k de M. On note m(k) i,j le terme g´en´eral de M k. Pour tout j de {1, . . . , n}, on pose : � � � α(k) j = min{m(k) i,j , 1 ≤ i ≤ n} β(k) j = max{m(k) i,j , 1 ≤ i ≤ n} Dans les questions (a) `a (d), j est fix´e dans {1, . . . , n} et k est fix´e dans IN. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.