Probl`emes de Math´ematiques Quaternions ´Enonc´e Quaternions On se place dans l’alg`ebre M4( lC) et on d´efinit les quatre matrices suivantes : I = � � � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � � � J = � � � � 0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 � � � � K = � � � � 0 0 1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 0 0 � � � � L = � � � � 0 0 0 1 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 � � � � 1. (a) Former le polynˆome caract´eristique de J. Cette matrice est-elle diagonalisable dans IR ? dans lC ? [ S ] (b) Reprendre la question (a) avec la matrice K. [ S ] (c) Reprendre la question (a) avec la matrice L. [ S ] 2. Montrer que G = {I, J, K, L, −I, −J, −K, −L} est un sous-groupe non commutatif, pour le produit des matrices, du groupe GL4( IR) des matrices inversibles d’ordre 4. [ S ] 3. Soient a, b, c, d quatre nombres complexes, et A = aJ + bK + cL + dI. (a) D´eduire de ce qui pr´ec`ede une expression de A2 en fonction de A et de I. [ S ] (b) D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante portant sur a, b, c, d pour que la matrice A2 soit diagonale. Quelle est alors son expression en fonction de I ? [ S ] (c) On note A0 la matrice A obtenue pour d = 0. Calculer det A2 0 et en d´eduire det A0. [ S ] 4. (a) D´eterminer le polynˆome caract´eristique de A en consid´erant le produit de la matrice A − λI (avec λ ∈ lC) par sa transpos´ee. [ S ] (b) En d´eduire les valeurs propres de A et exprimer det A en fonction de a, b, c, d. [ S ] (c) D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante portant sur a, b, c, d pour que A admette une valeur propre quadruple. [ S ] (d) D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante portant sur a, b, c, d pour que les valeurs propres de A soient −i et i. [ S ] 5. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur a, b, c, d pour que A soit inversible. [ S ] 6. On pose ω = a2 + b2 + c2 + d2 et on suppose que A est inversible. (a) Calculer det A−1 et d´eterminer A−1 en effectuant le produit A TA. [ S ] (b) D´eterminer les valeurs propres de A−1. [ S ] (c) Calculer le polynˆome caract´eristique de A−1. [ S ] 7. Soit E l’ensemble des matrices A, quand (a, b, c, d) d´ecrit lC4. (a) Montrer que E est une alg`ebre non commutative poss´edant des diviseurs de z´ero. [ S ] (b) Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que A, A′ commutent dans E. [ S ] 8. Soit F l’ensemble des matrices A, quand (a, b, c, d) d´ecrit IR4. Montrer que toute matrice non nulle de F est inversible dans F. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.