Probl`emes de Math´ematiques Puissances enti`eres de z = 0.28 + 0.96i ´Enonc´e Puissances enti`eres de z = 0.28 + 0.96i Soit Ω l’ensemble des nombres complexes de module 1. Soit θ le r´eel de [0, 2π[ tel que � cos θ = 0.28 sin θ = 0.96 . 1. Pour tout entier naturel p, on pose zp = exp(ipθ). (a) Pour tout couple d’entiers p et q, montrer que ;;;zp − zq;;; = 2 ���sin(p − q)θ 2 ���. [ S ] (b) Calculer cos θ 2 et sin θ 2. En d´eduire : ∀ p, q ∈ IN, ;;;zp − zq;;; ∈ lQ. [ S ] 2. On pose maintenant, ∀ k ∈ IN, ωk = z 2k (par exemple ω3 = z8). (a) Montrer que ∀k ∈ IN, Re(ωk) = ak10−(2k+1), o`u ak ∈ ZZ − 10ZZ. Indication : noter que (28 + 96i)2k = ak + ibk, o`u ak ≡ 8(10), bk ≡ 6(10). [ S ] (b) En d´eduire que les ωk sont distincts deux `a deux. [ S ] (c) Montrer que les zk sont deux `a deux distincts. [ S ] (d) En d´eduire que θ π est irrationnel. [ S ] 3. Pour tout entier n ≥ 2, on pose dn = inf{;;;zp − zq;;;, 0 ≤ p, q ≤ n − 1, p ̸= q}. (a) Montrer que, pour tout n ≥ 2, dn ≤ 2 sin π n. En d´eduire : lim +∞ dn = 0. [ S ] (b) Soit ε un r´eel strictement positif donn´e, et soit c dans Ω. Montrer qu’il existe un entier naturel n tel que ;;;c − zn;;; ≤ ε. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.