Exercices de Math´ematiques Matrice d’une application lin´eaire (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] D´eterminer la matrice A dans la base canonique (e1, e2, e3) de l’endomorphisme f de R3 sachant que (1, 2, −1) appartient `a Ker f, que f(e1) = (2, 1, 1) et que f(e2) = (3, 0, −1). Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : R4 → R3, lin´eaire, de matrice A = � � � 2 −1 1 5 −1 2 3 −4 3 0 5 6 � � � dans les bases canoniques. D´eterminer l’image et le noyau de f. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : R3 → R4, lin´eaire, de matrice A = � � � � � 1 −a 2a a −1 a 2a 2a 1 2a + 1 a 2a + 1 � � � � � dans les bases canoniques. D´eterminer l’image et noyau de f. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Image du plan P : x + y + z = 0 par f : R3 → R4 d´efinie par � � � � � � � � � X = 5x + 2y − z Y = −8x − 3y + 2z Z = −x − 2y − 3z T = 3x − y − 5z Image r´eciproque de l’hyperplan H : X + Y + Z + T = 0. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Dans l’espace vectoriel E = R3[X], on pose A = X4 − 1 et B = X4 − X. Soit ϕ : E → E d´efinie par ϕ(P) = R, o`u R est le reste dans la division de AP par B. Montrer que ϕ est un endomorphisme de E. Quel est son noyau ? son image ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.