Probl`emes de Math´ematiques Matrices et carr´es magiques ´Enonc´e Matrices et carr´es magiques Dans tout le probl`eme, n est un entier sup´erieur ou ´egal `a 2. On d´esigne par Mn(IR) l’alg`ebre des matrices carr´ees d’ordre n `a coefficients r´eels. Pour tout A de Mn(IR), on note aij le coefficient de A en ligne i, colonne j. On note A = (aij). On note In la matrice identit´e d’ordre n On note Jn la matrice de Mn(IR) dont tous les coefficients valent 1. On note (Eij) la base canonique de Mn(IR) : pour tout couple (i, j) de {1, . . . , n}2, Eij est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situ´e en position (i, j), qui vaut 1. Pour toute matrice A = (aij) et tous entiers i, j de {1, . . . , n}, on note : ϕi(A) = n � k=1 aik , ψj(A) = n � k=1 akj , tr(A) = n � i=1 aii , δ(A) = n � i=1 ai,n+1−i Ainsi : � � � � � � � � � ϕi(A) est la somme des coefficients de la i-`eme ligne de A. ψj(A) est la somme des coefficients de la j-`eme colonne de A. tr(A) est la somme des coefficients de la diagonale principale de A (la trace de A). δ(A) est la somme des coefficients de la diagonale non principale de A. On note Pn l’ensemble des matrices A de Mn(IR) telles que ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2, ϕi(A) = ψj(A). Pour toute matrice A de Pn, on note σ(A) la valeur commune des quantit´es ϕi(A) et ψj(A). On note Qn le sous-ensemble de Pn des matrices A qui v´erifient en outre tr(A) = δ(A) = σ(A). Les matrices de Pn sont dites semi-magiques ; celles de Qn sont dites magiques. On dit qu’une matrice magique A de Mn(IR) est un carr´e magique d’ordre n si l’ensemble des coefficients de A est ´egal `a {1, 2, . . . , n2}. Par exemple : A = � � 8 1 6 3 5 7 4 9 2 � � , B = � � � � 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 � � � � , C = � � � � � � � 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 � � � � � � � sont des carr´es magiques d’ordres respectifs 3, 4, 5. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.