Probl`emes de Math´ematiques Endomorphismes normaux, sym´etriques, ou antisym´etriques ´Enonc´e Endomorphismes normaux, sym´etriques, ou antisym´etriques Notations Dans ce probl`eme, E est un espace euclidien de dimension n ≥ 1. On note (x ;;; y) le produit scalaire de deux vecteurs quelconques x, y de E. On note [x]ε la matrice-colonne des coordonn´ees d’un vecteur x dans une base (ε) de E. Rappel : si (ε) est orthonorm´ee, si x = n� k=1 xkεk et y = n� k=1 ykεk, (x ;;; y) = n� k=1 xkyk = t[x]ε[y]ε. Premi`ere partie Dans cette partie, on d´efinit ce qu’est l’adjoint d’un endomorphisme de E. 1. (a) Soit ϕ une forme lin´eaire sur E. Montrer qu’il existe un vecteur unique a de E tel que : ∀ x ∈ E, ϕ(x) = (x ;;; a). [ S ] (b) Soit f un endomorphisme quelconque de E, et soit y un vecteur de E. Montrer qu’il existe un unique a de E tel que : ∀ x ∈ E, (f(x) ;;; y) = (x ;;; a). [ S ] (c) Avec les notations pr´ec´edentes, on note a = f∗(y). Montrer que l’application f∗ ainsi d´efinie est un endomorphisme de E. [ S ] Pour tout endomorphisme f de E, on a ainsi d´efini un endomorphisme f∗ de E. On a vu que l’application f∗ est caract´eris´ee par : ∀ (x, y) ∈ E2, (f(x) ;;; y) = (x ;;; f∗(y)). On dit que f∗ est l’endomorphisme adjoint de f. 2. (a) Soit (ε) une base orthonorm´ee quelconque de E. Montrer que la matrice de f∗ dans la base (ε) est la transpos´ee de celle de f. [ S ] (b) Soit f dans L(E). Montrer que f, f∗ ont mˆeme rang, mˆeme trace, mˆeme d´eterminant. [ S ] 3. (a) Montrer que l’application f �→ f∗ est un automorphisme involutif de L(E). [ S ] (b) Montrer que pour tous f, g de L(E), on a (g ◦ f)∗ = f∗ ◦ g∗. [ S ] (c) Dans cette question, on suppose que f est un automorphisme de E. V´erifier que Id∗ = Id, et montrer que f∗ est un automorphisme, avec (f∗)−1 = (f−1)∗. [ S ] 4. (a) Soit F un sous-espace vectoriel de E, stable par l’endomorphisme f. Montrer que son suppl´ementaire orthogonal F ⊥ est lui aussi stable par f∗. [ S ] (b) Pour tout f de L(E), Montrer que Kerf∗ = (Im f)⊥ puis que Im f∗ = (Kerf)⊥. Indiquer comment ce r´esultat permet de retrouver l’´egalit´e rg(f∗) = rg(f). [ S ] Quelques d´efinitions On dit qu’un endomorphisme f de E est : – Normal s’il commute avec son adjoint, c’est-`a-dire si f∗ ◦ f = f ◦ f∗. – Sym´etrique si f∗ = f, c’est-`a-dire si (f(x) ;;; y) = (x ;;; f(y)) pour tous x, y de E. – Antisym´etrique si f∗ = −f, c’est-`a-dire si (f(x) ;;; y) = − (x ;;; f(y)) pour tous x, y de E. On note N(E) (resp. S(E), resp. A(E)) l’ensemble des endomorphismes normaux (resp. sym´etriques, resp. antisym´etriques) de E. Il est clair que les endomorphismes sym´etriques ou antisym´etriques sont normaux. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.