Probl`emes de Math´ematiques Polynˆomes cyclotomiques ´Enonc´e Polynˆomes cyclotomiques On note C[X] (resp. R[X]) l’anneau des polynˆomes `a coefficients dans C (resp. dans R.) On note Q[X] (resp. Z[X]) l’ensemble des polynˆomes `a coefficients rationnels (resp. entiers.) Il est clair que Q[X] est un sous-anneau de R[X] et que Z[X] est un sous-anneau de Q[X]. I. Polynˆomes `a coefficients entiers Pour tout A = � k≥0 akXk de Z[X], on note δ(A) le pgcd des coefficients ak. On dit que A est un polynˆome primitif si δ(A) = 1. Si A ̸= 0 (donc δ(A) ̸= 0) on note �A le polynˆome primitif de Z[X] d´efini par A = δ(A) �A. 1. Montrer que si A et B sont primitifs, il en est de mˆeme du produit AB. [ S ] 2. V´erifier que δ(mC) = m δ(C) pour tout (m, C) de Z × Z[X]. Montrer que dans le cas g´en´eral, on a δ(AB) = δ(A)δ(B). [ S ] 3. Soient P, Q deux polynˆomes unitaires dans Q[X]. On suppose que PQ est dans Z[X]. Montrer que P et Q sont dans Z[X]. [ S ] 4. On se donne deux ´el´ements A, B de Z[X], le polynˆome B ´etant unitaire. Soit A = BQ + R la division euclidienne de A par B dans C[X]. Montrer que le quotient Q et le reste R sont dans Z[X]. [ S ] II. Racines n-i`emes primitives de l’unit´e Soit n dans N∗ et z dans C. On dit que z est une racine n-i`eme primitive de l’unit´e si on a � zn = 1 ∀ m ∈ {1, . . . , n−1}, zm ̸= 1 On d´esigne par Un le groupe des racines n-i`emes de l’unit´e. On note Rn l’ensemble des racines n-i`emes primitives de l’unit´e. On a bien sˆur Rn ⊂ Un. On rappelle que Un est un groupe cyclique d’ordre n, engendr´e par wn = e2iπ/n. On note que Rn est l’ensemble des ´el´ements d’ordre n du groupe (C∗, ×), donc l’ensemble des g´en´erateurs du groupe cyclique Un, et que ses ´el´ements sont caract´eris´es par : zm = 1 ⇔ n ;;; m. On note Dn l’ensemble des diviseurs positifs de n. 1. Soit z = ωk n un ´el´ement de Un, avec 1 ≤ k ≤ n. Montrer que le sous-groupe de Un engendr´e par z est cyclique d’ordre n n∧k. En d´eduire que Rn = {wk n, 1 ≤ k ≤ n, k ∧ n = 1}. [ S ] 2. Pr´eciser R1 et R2. Donner les ´el´ements de R12. Que dire de Rn si n est premier ? [ S ] 3. Montrer que Un est l’union disjointe des Rd quand d parcourt Dn. [ S ] 4. Montrer que Rn est stable par l’application z �→ z, et est de cardinal pair si n ≥ 3. [ S ] 5. Montrer que le produit des ´el´ements de Rn est ´egal `a 1 pour tout n ≥ 3. [ S ] 6. Soient m et n deux ´el´ements de N∗, premiers entre eux. Montrer que l’application (a, b) �→ ab est une bijection de Rm × Rn sur Rmn. En d’autres termes, on montrera que : ∀ z ∈ Rmn, ∃ ! a ∈ Rm, ∃ ! b ∈ Rn, z = ab. [ S ] 7. Soit a un ´el´ement particulier de Rn. Soit z un nombre complexe. Montrer que z est dans Rn si et seulement si : ∃ m ≥ 1, m ∧ n = 1, z = am. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.