Probl`emes de Math´ematiques Polynˆomes trigonom´etriques `a valeurs r´eelles positives ´Enonc´e Polynˆomes trigonom´etriques `a valeurs r´eelles positives Partie I : Polynˆomes trigonom´etriques. On dit qu’une application f d´efinie sur R et `a valeurs dans C est un polynˆome trigonom´etrique s’il existe une famille (ck)k∈Z de nombres complexes, les ck ´etant tous nuls sauf peut-ˆetre un nombre fini d’entre eux, telle que pour tout x de R : f(x) = � k∈Z ck eikx. Dans cette partie, on suppose que f : x �→ � k∈Z ck eikx un polynˆome trigonom´etrique. 1. Pour tout p de Z, calculer Ip = � 2π 0 eipx dx. [ S ] 2. En d´eduire que pour tout entier relatif m, on a l’´egalit´e : cm = 1 2π � 2π 0 f(x) e−imx dx. [ S ] 3. Soit g : x �→ � k∈Z dk eikx un polynˆome trigonom´etrique. Montrer qu’on a l’´egalit´e g = f si et seulement si, pour tout k de Z, on a dk = ck. [ S ] 4. On suppose que f n’est pas l’application nulle. Prouver le r´esultat suivant : Il existe un unique couple (p, A) de Z × C[X] tel que � ∀x ∈ R, f(x) = e−ipxA(eix) A(0) ̸= 0 [ S ] 5. V´erifier que les applications x �→ cos5 x et x �→ sin5 x sont des polynˆomes trigonom´etriques. ´Ecrire ces applications sous la forme indiqu´ee dans la question pr´ec´edente. [ S ] Partie II : Polynˆomes trigonom´etriques `a valeurs r´eelles. Dans cette partie, f : x �→ � k∈Z ck eikx est un polynˆome trigonom´etrique `a valeurs r´eelles. On suppose f ̸= 0, et on d´esigne toujours par (p, A) le couple d´efini dans la question I-4. 1. Montrer que pour tout entier relatif k, on a l’´egalit´e : c−k = ck. [ S ] 2. En d´eduire p ≥ 0, et : ∀x ∈ R, f(x) = p� k=−p ck eikx. Prouver que A est de degr´e 2p. Si on pose A = 2p � n=0 αnXn, montrer que ∀n ∈ {0, . . . , 2p}, α2p−n = αn. [ S ] 3. Montrer qu’il existe une famille unique (a0, a1, . . . , ap, b1, . . . , bp) de 2p+1 r´eels telle que : ∀x ∈ R, f(x) = a0 + p� k=1 (ak cos kx + bk sin kx). On v´erifiera que a0 = c0 et ∀k ∈ {1, . . . , p}, ak = 2 Re ck et bk = −2 Im ck. [ S ] 4. En utilisant la question II-2, Montrer que pour tout z de C∗, on a A(z) = z2p A(1/z). [ S ] 5. Soit u = eiθ une racine de module 1 de A, de multiplicit´e m. Montrer qu’on peut ´ecrire : ∀x ∈ R, f(x) = � sin x − θ 2 �m g(x), avec g(θ) ̸= 0. Montrer que si f est `a valeurs dans R+, alors l’entier m est pair. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.