Exercices de Math´ematiques Ensembles d´enombrables ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Cet exercice permet de construire une bijection de IN × IN sur IN. On d´efinit une application f, de IN × IN vers IN, de la mani`ere suivante : � � � f(0, 0) = 0 f(0, y) = f(y − 1, 0) + 1 si y ≥ 1 f(x, y) = f(x − 1, y + 1) + 1 si x ≥ 1. Pour tout k de IN, on pose Sk = {(x, y) ∈ IN2, x + y = k}. 1. Calculer card(Sk), et f(x, y) en fonction de x et de y. 2. Montrer que : ∀ n ∈ IN, ∃ !k ∈ IN tq : k(k + 1) 2 ≤ n < (k + 1)(k + 2) 2 . 3. Montrer que f est bijective. Quel est l’ant´ec´edent de 2000 ? Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit (fn)n≥0 une suite d’applications de IN vers IN. Soit f : IN → IN d´efinie par : ∀ n ∈ IN, f(n) = fn(n) + 1. Montrer que, pour tout entier p, f ̸= fp. En d´eduire que l’ensemble des applications de IN dans IN n’est pas d´enombrable. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que l’ensemble des parties finies de IN est d´enombrable. Montrer en revanche que P(IN) n’est pas d´enombrable. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application de IN∗ dans IR. On d´efinit une suite (un)n≥1 de la mani`ere suivante : Pour tout n ≥ 1, un est la n-i`eme d´ecimale de f(n). On d´efinit de mˆeme une suite (vn)n≥1 par � vn = 1 si un = 0. vn = 0 si un ̸= 0. Montrer que le r´eel r = 0, v1v2 . . . vn . . . n’a pas d’ant´ec´edent par f. En d´eduire que IR n’est pas d´enombrable. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.