Exercices de Math´ematiques Relations d’´equivalence (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] On d´efinit sur IR la relation : xRy ⇔ x3 − y3 = 3(x − y). 1. Montrer que R est une relation d’´equivalence. 2. D´eterminer, pour tout r´eel x, le cardinal de la classe d’´equivalence de x. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Dans IR2, la relation (x, y)R(z, t) ⇔ xy = zt est-elle une relation d’´equivalence ? Si oui quelles sont les classes d’´equivalence ? La relation (x, y)S(z, t) ⇔ � xy = zt xz ≥ 0 est-elle une relation d’´equivalence ? Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Dans le plan P d’origine O, la relation “MRN ⇔ O, M, N sont align´es” est-elle une relation d’´equivalence ? Mˆeme question si on remplace P par P − {O}. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Sur IN × IN∗, on pose (m, n)R(p, q) ⇔ mq = np. Est-ce une relation d’´equivalence ? Et si on remplace IN × IN∗ par IN2 ? Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit M une partie non vide de P(E) telle que : ∀ X, Y ∈ M, ∃ Z ∈ M, Z ⊂ X ∩ Y . On d´efinit une relation R sur P(E) par : ARB ⇔ ∃ X ∈ M, A ∩ X = B ∩ X. Montrer que R est une relation d’´equivalence. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un ensemble fini. On d´efinit une relation R sur P(E) par : ARB ⇔ card(A∆B) est pair. R est-elle une relation d’´equivalence ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.