Exercices de Math´ematiques Relations d’´equivalence (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un ensemble muni d’une relation R r´eflexive et transitive. On d´efinit sur E la relation : xSy ⇔ xRy et yRx. Montrer que S est une relation d’´equivalence. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit R une relation r´eflexive et sym´etrique sur un ensemble E. On d´efinit sur E la relation : xSy ⇔ il existe une suite finie x0, x1, . . . , xn d’´el´ements de E (avec n ≥ 1) tels que x0 = x, xn = y, et xpRxp+1 pour tout p de {0, . . . , n − 1}. Montrer que S est une relation d’´equivalence. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient R et S deux relations d’´equivalence sur un ensemble E. On d´efinit la relation S◦R par : xS◦Ry ⇔ ∃ z, xRz et zSy. Montrer que S◦R est une relation d’´equivalence ⇔ S◦R = R◦S. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit R une relation sur un ensemble E. Montrer que R est une relation d’´equivalence ⇔ : – R est r´eflexive – Pour tous ´el´ements x, y, z de E : (xRy et yRz) ⇒ zRx. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.