Exercices de Math´ematiques Relations d’ordre ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient E et F deux ensembles ordonn´es et A une partie non vide de E. Soit f une application croissante de E dans F. Montrer que si max A existe, alors max f(A) existe et est ´egal `a f(max A). La propri´et´e subsiste-t-elle si on remplace “max” par “sup” ? Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient R et S deux relations d’ordre total sur E. 1. Sur E on pose xT y ⇔ (xRy et xSy). Est-ce une relation d’ordre (total, partiel) ? 2. Mˆeme question en d´efinissant : xUy ⇔ (xRy ou xSy). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Sur IR2, on d´efinit � (x, y)R(x′, y′) ⇔ x ≤ x′ et y ≤ y′ (x, y)S(x′, y′) ⇔ (x < x′) ou (x = x′ et y ≤ y′) Est-ce que R et S sont des relations d’ordre ? Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient E et F deux ensembles ordonn´es (l’ordre sur E ´etant total). Soit f : E �→ F, croissante. Montrer que f est injective ⇔ elle est strictement croissante. Montrer que le r´esultat n’est pas vrai si on ne suppose pas que E est totalement ordonn´e. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] NB : cet exercice utilise des notions un peu en marge du programme. Soit E un ensemble ordonn´e admettant un plus grand ´el´ement et telle que toute partie non vide poss`ede une borne inf´erieure. Montrer que toute partie non vide de E poss`ede une borne sup´erieure. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] NB : cet exercice utilise des notions un peu en marge du programme. Soit E un ensemble ordonn´e poss´edant un ´el´ement minimum et dans lequel toute partie non vide admet une borne sup´erieure. Soit f une application croissante de E dans E. 1. Montrer que l’ensemble X = {x ∈ E, x ≤ f(x)} est non vide 2. Montrer que la borne sup´erieure a de X v´erifie f(a) = a. Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ] Cet exercice est connu sous le nom de “probl`eme des hussards”. Soit (aij)1≤ i ≤ n,1≤ j ≤p une famille de np r´eels. Comparer A = min 1≤ i ≤ n ( max 1≤ j ≤p ai,j) et B = max 1≤ j ≤p ( min 1≤ i ≤ n ai,j) Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.