Cours de Math´ematiques Ensembles, applications, relations Sommaire Ensembles, applications, relations Sommaire I Un peu de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 Assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Op´erations sur les assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Tableaux de v´erit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.4 Quelques synonymies classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.5 Conditions n´ecessaires et/ou suffisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.6 Pr´edicats et quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.7 Quelques bons conseils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II Le langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.1 Ensembles et ´el´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.2 Op´erations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.3 Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II.4 Op´erations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.2 Exemples d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.3 Prolongements et restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 III.4 Image d’une partie par une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 III.5 Image r´eciproque d’une partie par une application . . . . . . . . . . . 13 III.6 Composition des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III.7 Applications injectives, surjectives, bijectives . . . . . . . . . . . . . . 15 III.8 Utilisation des applications caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . 16 III.9 Familles d’´el´ements, familles d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 IV.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 IV.2 Propri´et´es ´eventuelles des relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . 20 IV.3 Relations d’´equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 IV.4 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 IV.5 Majorants, minorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 IV.6 Applications entre ensembles ordonn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.